Mathematics on A Moment's Rest

相场模拟，但是用很多语言——番外

Sat, 30 May 2026 00:00:00 +0800

前几篇博文中，我们都使用了有限差分法来离散网格并计算 Cahn-Hilliard 方程的结果。这样的写法确实简单有效，但是问题是就没有别的更好的方法了吗？有的，兄弟！有的！那就是今天要向各位介绍的 傅里叶谱法。在这个方法下，我们不需要再可怜兮兮地做网格差分了，而是从另一个神秘空间：谱空间 去求解。本篇就以番外的形式，聊聊这个神奇的方法，关于它的数学原理，使用事项，以及实现时需要注意的若干细节。

线性代数笔记 III

Fri, 06 Mar 2026 23:45:01 +0800

$$ % ===== ===== \gdef \vect #1{\mathbf{#1}} % abstract vector \gdef \cvect #1{\boldsymbol{#1}} \gdef \basis #1#2{\mathcal{#1}_{#2}} % basis of vector space \gdef \basev #1#2#3{\{\vect{#1}_{#2}\}_{#2=1}^{#3}} % base vector collection \gdef \cbasev #1#2#3{\{\cvect{#1}^{#2}\}_{#2=1}^{#3}} % dual basis e^i \gdef \vrep #1#2{[\vect{#1}]_{#2}} % coordinate representation [v]_B \gdef \rep #1{[\vect{#1}]} \gdef \mrep #1#2#3{[{#1}]_{#2}^{#3}} % representation [L]_{C,B} % \gdef \iprod #1#2{\langle #1, #2 \rangle} % inner product \gdef \tran #1{\vect{#1}^{\mkern-1.5mu\mathsf{T}}} \gdef \mat #1{\mathbf{#1}} % matrix (representation) \gdef \field #1{\mathbb{#1}} % \gdef \xto #1{\xrightarrow{#1}} % arrow with label \gdef \xfrom #1{\xleftarrow{#1}} % left arrow with label \gdef \Hom {\operatorname{Hom}} % morphisms between A and B \gdef \Iso {\operatorname{Iso}} \gdef \End {\operatorname{End}} % \gdef \Aut {\operatorname{Aut}} % \gdef \cat #1{\mathsf{#1}} % category symbol: e.g., \cat{Vect}, \cat{Set} \gdef \Mat {\operatorname{Mat}} \gdef \Bilin {\operatorname{Bilin}} \gdef \t {^{\mathsf{T}}} \gdef \id {\mat{I}} % identity matrix \gdef \R {\field{R}} % \gdef \C {\field{C}} % \gdef \ot {\otimes} % tensor product symbol \gdef \zero {\vect{0}} % \gdef \one {\vect{1}} % \gdef \idop {\mathrm{id}} % identity morphism \gdef \comp {\circ} % composition symbol \gdef \Set {\cat{Set}} % category of sets \gdef \Vectk {\cat{Vect}_{\field{k}}} % category of vector spaces \gdef \Vect {\cat{Vect}} % % \gdef \BaseB {\basis{B}{}} \gdef \BaseC {\basis{C}{}} \gdef \BaseBV {\basis{B}{V}} \gdef \BaseCW {\basis{C}{W}} \gdef \BaseE {\basis{E}{}} \gdef \BaseH {\basis{H}{}} $$

书接上回，在对 $\Hom(\R,V)$ 以及 $\Hom(V,\R)$ 有了一定认识，且有了对偶这样特殊的对象后，我们终于可以出发研究线性映射空间 $\Hom(V,W)$ 了。而矩阵空间 $\Mat(m,n)$ 与线性映射空间之间又有什么样的联系呢？让我们就在这一章里探索一番吧！

线性代数笔记 II

Mon, 20 Oct 2025 09:03:01 +0800

书接上回，在搞清楚线性空间大概是个什么情况之后，我们来看看线性空间之间都有什么样子的联系吧~！

头图信息请参考上一节，谢谢~ 选曲为茶太和 nayuta 合唱的 お茶ガール，青春阳光有活力，陪伴了我大二啃线性代数的时光……

线性代数笔记 I

Mon, 20 Oct 2025 09:00:01 +0800

一直感觉没有学透线性代数，尤其是学过一些抽象代数之后，更觉得线性代数并不是简单的矩阵运算了。借着需要学连续介质力学的机会，就整理一下自己知道的东西，斗胆谈谈自己对这门学科的理解吧~

线性空间的积与余积

Sun, 05 Oct 2025 19:55:20 +0800

线性空间的直积（积）和直和（余积）究竟有什么区别？它们区别的根源在哪里？这个困扰了我许久的问题终于在今天得到了答案，一起看看吧~

选曲为最近拜托朋友从日本买下（还没送到）的鹿乃的专辑 two 的一首歌，同时也是我很喜欢的 P 主 電ポルP（Koyori，又称电杆P，因为曲绘经常是电线杆）在 14 年发布的由 v flower 演唱的 曖昧劣情Lover。实在是非常好听，我很喜欢。头图则选择了某神秘群友的群友派佬生成的 AI 图，是可爱的艾雅法拉，希望你喜欢~

到底啥是函数！？

Tue, 23 Sep 2025 17:41:51 +0800

我们平时经常会遇到所谓的函数，不管是数学、物理，甚至是程序里，都能看到它的身影。然而，它到底是啥呢？你也许自己心里有一个答案。这里我也斗胆对比一下各个教材中对函数的定义，聊一聊这个我们或许很熟悉的概念。

2025! 非零的最后一位数字是多少？

Mon, 25 Aug 2025 18:01:23 +0800

在知乎上看到了这样一个有趣的问题，以及很厉害的回答，实在是很有意思。这里就写一写我的解决这个问题的方法以及当时的心路历程吧。

头图出自 fasnakegod 大大的清水吟，搭配的曲子是 DDBY 的 Cramped space，笛声真的很棒，搭配轻快的鼓组和旋律，给人一种很悠闲放松的感觉呢。希望你也喜欢~

微积分的符号

Thu, 24 Jul 2025 15:16:10 +0800

数学的一大特征大概就是多种多样的符号了吧。提到数学，大家总是能想起各种各样的公式，即便在我心目中，物理也许更能用各式各样的公式凸显自己的高深莫测，然而作为一种逻辑严密的学科，依旧少不了用各种符号来代指各种数学对象。本文就 微积分 这一个子方向，浅谈这些风格迥异的记号，也方便接触不同领域的文献。

蛇年，Snake Lemma！

Thu, 27 Feb 2025 00:00:00 +0800

看了好多证明蛇引理的视频，我也来试试~ 蛇年到了，重在参与嘛

头图出自ぬくぬくにぎりめし太太，为稲葉曇所作的ポストシェルター (Post Shelter)的曲绘。支持正版，就只有30秒试听了（）

多相场模型与巨势方程

Sun, 05 Jan 2025 00:00:00 +0800

记录一下目前使用到的两个相场模型，包括它们的推导，假设和缺陷

头图出自かとうれい太太，为みきとP 所作的少女レイ的曲绘

简介

目前在做的不连续析出的模拟，里面用到了这两个演化方程。之前一直没有仔细思考过这两个演化方程到底是什么来头，为什么这个体系适合使用这两个方程，导致现在想大概修改一下它们也无从下手。这里就作为笔记记录下这两个方程的推导方法，优缺点，以及我个人的一些看法吧。

关于泛函导数和变分法-来自相场公式推导的问题

Sat, 04 Jan 2025 00:00:00 +0800

本文系拾人牙慧之作，仅为解决公式推导过程中的一些边角料的数学问题，内容如有错漏还请谅解。另外，感谢老大中先生的《变分法基础》第三版。本文的主要内容几乎全部参考本书。

Phase Field: 相场模拟学习笔记 III

Mon, 23 Dec 2024 00:00:00 +0800

接上一节内容，这节会简单介绍 C++ 的一些语法知识，然后用 C++ 实现一维传热方程的模拟。

C++：一门高效的，适宜科学计算的程序语言

C++ 是一门经典的编程语言，于 1979 年由 Bjarne Stroustrup 设计，最初目的是为了成为更好的 C 语言，而后随着自身发展，成为了一门和 C 语言有许多相似之处，而又截然不同的一门语言。C++ 支持多种编程范式，包括但不限于面向过程，面向对象，函数式，模板元编程等等。其丰富的生态，高效的算法库以及零成本抽象的理念让 C++ 极为适合进行各类科学运算。此外，C++ 的语法较为亲民，其多种编程范式也便于不同背景的开发者上手，故我们在这里引入 C++ 作为后续计算使用的程序语言。

Phase Field: 相场模拟学习笔记 II

Fri, 22 Nov 2024 00:00:00 +0800

接上一节内容，这节会简单介绍 Python 的一些语法知识，以及尝试使用 Python 实现上节所列出来的部分算法。

Python 初探索

简介

Python 是一种蟒蛇，而在编程语境下，Python 则是一门十分受欢迎的编程语言。Python 具有语法友好（接近英语），功能强大（感谢开源与社区），社区活跃等优秀的特点，让 Python 成为入门编程的一个好选择。

Baby Rudin 读后感

Fri, 01 Nov 2024 00:00:00 +0800

本文写于9月22日，因为这是我读完的第一本数学专业的书，故而感觉很有必要记下来点什么，于是就有了这么一篇流水账。作为 Mathematics 部分的第一篇博文正是再好不过

Phase Field: 相场模拟学习笔记 I

Fri, 01 Nov 2024 00:00:00 +0800

这学期开了相场模拟培训，故尝试将相场培训笔记性质的内容记录下来，期望观感应该是目录式的笔记，外带可有可无的说明文字。那么就开始吧

Phase Field Method 是什么？

Phase Field Method，直译为相场法，是一种材料模拟方法，其通过宽界面（平滑界面）的特点，克服了另一个模拟方法：Stefan 法的窄界面无法计算的缺点，实现了对材料中的相的演化的模拟。