一直感觉没有学透线性代数，尤其是学过一些抽象代数之后，更觉得线性代数并不是简单的矩阵运算了。借着需要学连续介质力学的机会，就整理一下自己知道的东西，斗胆谈谈自己对这门学科的理解吧~

选曲是由 鹿乃 翻唱，收录在专辑 one 的歌曲 Calc.，原曲是我特别喜欢的一首上古 V 曲，由 ジミーサムP 制作并发布在 ニコニコ動画 上，链接：Hatsune Miku Original Song「Calc.」。其实应该算是情歌？但是 Calc. 也很有计算的感觉（）

选图为 Neve_AI 绘制的 AI 图，说是爱丽丝来着？反正挺好看的（逃）

前言

由于鄙人需要学习一些力学（连续介质力学）的内容，涉及张量代数和张量微积分的概念，而要想理解它们就不得不提传说中的神秘课程：线性代数。所以既然如此，干脆就从代数学的角度，以线性代数为起点开始整个旅途。由于本文的内容掺杂了（也许很多的）我的个人理解，所以如果有错漏，请不吝赐教。

记号约定

既然从代数学出发，我们必须得约定一些符号。

简单来说，我们用黑体代表矩阵和向量，用普通小写字母代表标量，当普通字母带上了上下标则代表对应的矩阵/向量分量。我们符号上严格区分线性映射和矩阵。在线性代数部分我们暂且使用这一套符号。另外，我们不使用爱因斯坦求和约定，直到我们彻底进入张量代数的内容。写清楚具体的求和过程在推导中是有帮助的。

有了这些铺垫，我们开始吧。

线性空间的定义

线性空间，又称 向量空间，作为线性代数中最基础的研究对象，在这个学科中占据几乎最中心的地位了。所谓的矩阵、向量等等，都是依赖于这个最基础的定义的。因此，我们先介绍一个线性空间它都有哪些基本属性。

实际上我们很早就已经接触过线性空间了，比如我们在物理中经常用到的 $3$ 维线性空间 $\R^3$，在初中物理阶段学到的笛卡尔座标系也实际上定义了一个二维的线性空间。直观理解就是线性空间是一个装满了向量的空间，最后这些向量可以被表达为一系列的数字。而如果从纯数学角度来讲，线性空间就是元素们满足 线性 的空间。下面我们给出定义。

[!DEF]{线性空间}

给定一个数域 $\field{k}$ 和一个集合 $V$，我们给集合 $V$ 定义两个运算，（向量）加法以及数乘（标量乘法）：

$$\begin{align*} &+\vcentcolon V \times V \to V, \\ &(\vect{u},\vect{v})\mapsto \vect{u}+\vect{v} \ \ (\forall \vect{u},\vect{v} \in V) \\ & \cdot\vcentcolon \field{k} \times V \to V,\\ &(a,\vect{v}) \mapsto a \cdot \vect{v} = a \vect{v}\ \ (\forall a \in \field{k}, \vect{v} \in V) \end{align*}$$

当 $V$ 和 $\field{k}$ 满足下面的性质时，我们就称 $V$ 是一个 $\field{k}$ 上的线性空间：

• 加法存在单位元 $\zero\in V$ 满足 $\zero + \vect{v} = \vect{v} + \zero = \vect{v}$ 对任意的 $\vect{v} \in V$ 都成立;
• 任何 $V$ 中元素 $\vect{v}\in V$ 都在加法下存在一个逆元，记为 $-\vect{v}$，使得 $\vect{v} + (-\vect{v}) = (-\vect{v})+\vect{v} = \zero;$
• 加法满足结合律：对于任意的 $\vect{u},\vect{v},\vect{w}\in V$，有 $(\vect{u}+\vect{v})+\vect{w} = \vect{u}+(\vect{v}+\vect{w});$
• 加法满足交换律：对任意的 $\vect{u},\vect{v}\in V$，有 $\vect{u}+\vect{v} = \vect{v}+\vect{u};$
• 数域的单位元在数乘中也是单位元： 对于 $1_\field{k} \in \field{k}$，满足 $1_\field{k} \vect{v} = \vect{v}$ 对于任意的 $\vect{v} \in V$ 都成立；
• 数乘在向量加法上可分配：$a\cdot(\vect{u}+\vect{v}) = a\cdot \vect{u} + a\cdot \vect{v}$ 对于任意的 $a\in \field{k}, \vect{u},\vect{v}\in V$ 都成立；
• 数乘在域加法上也可分配：$(a+b)\cdot \vect{u} = a\cdot \vect{u} + b\cdot \vect{u}$ 对于任意的 $a,b\in \field{k}, \vect{u}\in V$ 都成立；
• 数乘和域乘法次序可以交换：$a\cdot(b\cdot \vect{u}) = (a\times b)\cdot \vect{u}$ 对于任意的 $a,b\in \field{k}, \vect{u} \in V$ 都成立。

我们称 $V$ 中的元素为向量，上面的定义中我们混用了向量加法和标量加法，因为二者定义域完全不同；我们用 $\cdot$ 和 $\times$ 区分向量的标量乘法以及标量在域内的乘法。一般我们不将乘法记号写出。

我们也可以说，向量空间是在阿贝尔群的基础上赋予一个域上的标量乘法后形成的模。

下文我们始终将大写字母 $U$，$V$ 和 $W$ 作为我们要使用的某个线性空间。如果没有特殊声明，我们讨论的线性空间皆为数域 $\R$ 上的线性空间。另外我们就称域 $\Bbbk$ 中的元素为 数，它的乘法就是数乘。

线性空间的内部结构

空有一个线性空间的定义，不知道它的内部结构的话，我们几乎什么都做不到，但我们可以从它的定义出发，发展一些概念来帮助我们理解线性空间的内部结构。而由于线性空间的 线性，我们可以用数自由地数乘线性空间中向量们，再按照喜好加减它们。而如果我们选择合适的一组向量，我们可以把向量空间中的任何元素都表达为这组向量的数乘和加法的组合。我们下面将这个想法描述为数学语言，为此我们先引入线性组合和线性无关的概念。

线性组合

对一组向量可以做 线性组合：给向量们数乘以某一些数字后相加。下面是定义：

[!DEF]{线性组合}

设 $\field{k}$ 上的线性空间 $V$，由 $V$ 上的加法和数乘，我们定义 $V$ 的一个含有 $n$ 个元素（向量）的子集 $W$ 的 线性组合 为形如

$$\sum_i^n a_i \vect{v}_i$$

的 有限 和，其中 $a_i\in \field{k}$ 且 $\vect{v}_i\in W\subset V$。我们称 $\field{k}$ 中的标量为线性组合的系数。

有了线性组合，我们定义线性相关和线性无关。

线性相关与线性无关

线性相关和线性无关描述了一组向量之间的关系，是某种 “独立性” 的检验。

[!DEF]{线性相关与线性无关}

对 $\field{k}$ 上的线性空间 $V$ 的一个有 $n$ 个元素的子集 $W$，如果它们的线性组合满足条件：

$$\sum_i^n a_i \vect{v}_i = \zero \iff a_i = 0 \ \ \forall \vect{v}_i \in W, 1\leq i \leq n,$$

则我们称这个子集 $W$ 是线性无关的，否则称其为线性相关的。

借助线性相关与线性无关的概念，我们可以判断一个向量能否用从一组向量线性表出，也可以判断一个向量组是否是相互独立的。

线性子空间、线性张成

在拥有一个线性空间之后，我们自然想问：它作为集合来看，它的子集能否具有一些特别的性质？我们指出：可以，且有所谓的 线性子空间。如果一个线性空间 $V$ 的子集 $U\subseteq V$ 在赋予了 $V$ 的加法和数乘之后依然满足线性空间八条公理，则我们称这个集合 $U$ 配以两种运算之后得到的是 $V$ 的一个线性子空间。

[!DEF]{线性子空间}

给定线性空间 $V$ 的一个子集 $W$，如果它在原线性空间 $V$ 中定义的加法和数乘下依然满足线性空间的性质，我们就称 $W$ 是 $V$ 的一个线性子空间。

那么，我们有什么方法来生成向量空间的一个线性子空间呢？我们可以这么做：取向量空间的一个子集之后，用它里面的所有向量自由地进行线性组合：数乘以任何数域中的系数，然后进行有限多次相加。这样的操作我们称之为线性张成，而它就能生成线性空间的一个子空间。规范的表述是这样的：

[!DEF]{线性张成}

依旧考虑线性空间 $V$ 的一个子集 $G$，它可以 线性张成 或者 生成 一个线性子空间 $W$，方法是在 $V$ 的运算定义下对 $G$ 中元素进行线性组合所得到的所有结果。此时我们称 $W$ 是 $G$ 的线性张成，$G$ 是$W$ 的生成集或者张成列表。

不过，一组向量能线性张成多大的子空间，我们还不清楚。由于线性相关的存在，如果一组向量中很多向量都是线性相关的，那么它们应该张成一个比较小的空间；反之，如果一组向量全都是线性无关的，那么它应该能张成一个比较大的空间。不过我们还没法合理衡量这个大小，为此我们需要使用线性空间的 维数 来表达这个想法，而定义它需要线性空间的 基。

线性空间的基

如果向量组足够大，能够张成线性空间本身，那么它一定是一个特殊的集合，而如果我们再剔除掉里面多余的向量，让它们每个都是线性无关的且能正好不多不少地能张成这个线性空间，我们就称它为线性空间的一组 基。

[!DEF]{基与维数}

如果一个 $V$ 的子集 $B$ 即能张成 $V$ 又是线性独立的，我们就称集合 $B$ 是 $V$ 的一组 基，记为 $\basis{B}{V}$，在线性空间已经明了的情况下我们表示为 $\basis{B}{}$。它里面的向量被称为 基向量，在对基进行排序之后，我们用记号 $\BaseBV = \basev{b}{i}{n}$ 来表达这个关系。其中第 $i$ 个基向量记为 $\vect{b}_i$。习惯上（以及因为奇妙的原因）我们使用下标区分基向量。

我们记 $\BaseB$ 的基数（集合的大小，即基向量的多少）为该线性空间的维数，记作 $\dim V$。

实际上线性子空间与基还有特殊的关系：如果线性空间 $V$ 有一组基 $\basis{B}{V}$，我们从这个集合中分出两份来，一份为 $B_1$，另一份为 $B_2$，然后让它们俩再进行线性张成，得到的两个线性空间都是 $V$ 的线性子空间。而更特别的是，由于这两个线性子空间作为集合来看，只在零向量 $\zero$ 处相交，所以我们可以定义所谓的 直和，并称 $V$ 可以分解为这两个子空间的直和。

直和有很多有趣的性质，感兴趣可以参考我的另一篇博文，这里就不再赘述了。

我们还有另一种不依赖线性张成地定义基的方法。一组线性无关的向量如果在添加空间内的任意一个别的向量后都会变得线性相关的的话，则称这组线性无关的向量为该线性空间的极大无关组。而线性空间的一个极大线性无关组就可以成为线性空间的一组基。这个定义和上面的定义方式是等价的，这里就不再赘述。

有了基，我们就可以对线性空间进行更复杂的描述以及操作了。比如，根据基的定义，每个线性空间中的向量都可以被表达为基的线性组合。

向量的表示

我们取 $n$ 维线性空间的一组基 $\basis{B}{V} = \basev{b}{i}{n}$ ，在这一组基下我们可以将线性空间中的每一个向量 唯一地 表示为一个数表，这个数表有 $n$ 个数字有序地构成，我们称这些数字为向量在第 $i$ 个基（方向）上的 分量。后续我们认为所有的基都是经过了排序的。我们把这 $n$ 个数字纵向依次排列（原因我们后续讨论），成为列向量；不致引起误会时，我们简称为向量。由此，向量有两重含义：抽象线性空间中的一个元素，或者在线性空间有一组基后的一个纵向排列的数表。我们记 $n$ 维向量空间 $V$ 中的向量 $\vect{v}\in V$ 第 $i$ 个分量为 $v^i$，则有

习惯上（以及，再一次，因为一些神秘的理由），我们使用上标来标记向量空间中的向量，与基向量的下标相对应。

进一步地，由于这样的对应关系，我们可以考虑把 $\field{k}$ 上的 $n$ 维线性空间与一个特殊的，我们很熟悉的线性空间 $\field{k}^n$ 联系起来，在 $\field{k} = \R$ 的情况下我们得到了熟悉的 $\R^n$ 空间。这个对应方法便是让向量在选择一组基后形成的列向量来表示 $\R^n$ 中一个点的坐标。这个对应关系有特殊的含义，我们后面会提到。

线性映射

一个线性空间本身并没有特别多可说的，而要想更深入研究线性空间，就必须将不同的线性空间联系起来。而这个联系不同线性空间的东西是所谓的 线性映射。

线性映射首先是从线性空间到线性空间的 映射，随后再要求它具有 线性性。线性性即保持线性空间结构（加法和数乘）的性质，拥有这样性质的映射不会破坏线性空间的结构：一个线性空间在映射后一定是一个线性空间。这样的想法在严格化后成为所谓的线性映射，或者 线性同态。

[!DEF]{线性映射（线性同态）}

设 $V,W$ 为同一数域 $\field{k}$ 上的线性空间。映射

$$L\vcentcolon V\to W$$

称为线性映射或线性同态，若对任意 $\vect{u},\vect{v}\in V$ 与 $a\in\field{k}$，有

$$L(\vect{u}+\vect{v})=L(\vect{u})+L(\vect{v}),\qquad L(a \vect{u})=a L(\vect{u}).$$

等价地，对任意有限和，

$$L\Bigl(\sum_{i=1}^n a^i \vect{v}_i\Bigr)=\sum_{i=1}^n a^i L(\vect{v}_i).$$

我们记全体线性映射为集合 $\Hom(V,W)$。若 $L$ 为双射，则称 $L$ 为线性同构。

总的来讲，从 $V$ 到 $W$ 的映射 $L$ 的线性性让下面的做法是完全可行的：我们可以直接将 $\vect{v}\in V$ 映射到 $\vect{w} = L(\vect{v}) \in W$，也可以先将 $\vect{v}$ 变为几个向量 $\vect{v}_i$ 的线性组合，再把这些向量映射到 $\vect{w}_i = L(\vect{v}_i) \in W$ 中，最后再对它们进行线性组合。这两条路径将给出完全相同的结果。我们称从线性空间 $V$ 到其自身的线性映射为 线性变换 或者 线性算子，$V$ 上全体线性变换形成的集合可以记为 $\End(V)$。

有了线性映射，我们就有了把不同的线性空间联系在一起的方法，因此线性映射也是线性代数中的重要研究对象之一。我们随后会进一步了解线性映射（们）丰富又有趣的性质。

线性空间范畴

我们还可以综合地考虑线性空间和线性映射，毕竟线性空间可以用线性映射联系起来，而每个线性映射都有来源与目标。代数学中有一个绝佳的概念：范畴，可以用来描述这一类东西，而在线性代数中我们研究的范畴则是 线性空间范畴。

$\mathsf{Vect}_{\mathbb{k}}$ 的基本情况

如果我们综合考虑所有的 $\field{k}$ 上的线性空间以及它们之间的所有线性映射，我们就可以得到所谓的线性空间范畴。我们记这样的范畴为 $\Vectk$。而当我们已经明确了定义线性空间使用的数域时，我们可以使用 $\Vect$ 来简记。我们称线性空间是这个范畴中的一个对象，而线性空间之间的线性映射则是它们之间的同态。

两个对象之间可以有许多种不同的同态，我们可以将这些同态收集起来，就得到了上面的 $\Hom(V,W)$。如果两个对象之间具有保持结构的双射及逆映射，我们就称它们二者之间有一个同构，而这两个对象也成为同构的对象。我们还可以让一个对象和它自身形成同态，得到的就是上面的 $\End(V)$；进一步地，考虑所有的该对象到自己的同构，我们得到的集合记作 $\Aut(V)$。这些集合上面都有丰富的性质，我们以后会聊到。所以其实上面的记号是借用了范畴论的一些记号得到的。

关于范畴的定义，我们这里不给出，感兴趣可以参考之前的一些文章，里面有对范畴进行详细严格的定义。我们这里介绍范畴的概念主要原因是为了方便后续使用交换图的语言来讨论一些问题，比如线性空间的对偶，双对偶，自然映射等等。

交换图

所以什么是交换图？交换图是用来描述范畴中的性质的重要工具，它使用同态，或者说箭头，连接范畴中的若干对象，并声称某些同态/箭头的复合结果是相同的。比如若有 $g\circ f = \varphi$，我们就称下面的图是交换的：

交换图的主要作用就是用来叙述态射复合结果的相等，而当态射复合的结果相同时，往往会得到 态射不依赖对象内部结构 的特殊结论。我们后面会发现这个叙述的作用（威力）。

一个例子：$n$ 维线性空间 $\R^n$

最后，我们聊一个特殊的例子，$n$ 维线性空间 $\Bbbk^n$。

$\R^n$ 的基本结构

$\Bbbk^n$ 是一个特殊的线性空间，是数域 $\Bbbk$ 与自身做笛卡尔积 $n$ 次之后得到的集合，然后再在上面赋予一个简单线性结构形成的。我们这里就令 $\Bbbk = \R$，来看看 $\R^n$ 是什么样的。

[!EX]{线性空间 $\R^n$}

我们取数域 $\R$ 并对其做笛卡尔积 $n$ 次，得到集合 $\R^n$。其元素为有序对 $(r_1,r_2,\dots,r_n)$。我们为其定义 $\R$ 上的数乘为：

$$\cdot_{\R^n}\vcentcolon\R\times\R^n\to\R^n,\quad (r,(r_1,\dots,r_n))\mapsto (rr_1,\dots,rr_n) \ \ \forall r\in \R, (r_1,\dots,r_n) \in \R^n$$

即数乘定义为用数字以 $\R$ 上的乘法去乘每个分量。定义加法为：

$$+_{\R^n}\vcentcolon\R^n\times\R^n\to\R^n,\quad ((r_1,\dots,r_n),(s_1,\dots,s_n))\mapsto (r_1+s_1,\dots,r_n+s_n) \ \ \forall (s_1,\dots,s_n),(r_1,\dots,r_n) \in \R^n$$

即让每个分量都以 $\R$ 上的加法相加。我们很容易验证，这个集合确实在加法和数乘下成为一个向量空间。它自然有一组基，我们特别地标记为 $\BaseE = \basev{e}{i}{n}$，其中 $\vect{e}_i$ 代表坐标 $(0,\dots,1,\dots,0)$，即在第 $i$ 个位置取 $1$ 其余全部取 $0$。我们称这组基为 $\R^n$ 的 典范基 或者 标准基。

为什么我们特别要讨论这个向量空间呢？它有很多有趣的地方。首先我们很熟悉它，因为它的三维情形就是我们熟悉的所谓 “三维空间” （不严谨地说）；其次，我们可以借助它来研究一些有趣的观点，比如让任意一个线性空间联系到它上面。

$\R$ 上的 $n$ 维自由向量空间

这里首先感谢 MSE上的讨论，这部分的内容几乎是转述这里的讨论。

设有 $n$ 个元素的集合：$\{1,2,\dots,n\}$，以及它到 $\R$ 上的所有映射：$f\vcentcolon\{1,2,\dots,n\}\to\R$。现在考虑其中的一个映射，它把定义域中的一个元素映射到 $\R$ 中的一个数字上，或者说它给定义域里的 $n$ 个位置都赋予一个实数。不难发现，它其实和我们创造的有序对是差不多的，结果上都是第 $i$ 个位置有一个实数。我们把这些 $f$ 收集起来成为一个集合，然后给它定义加法和数乘。加法就定义为函数的逐点加法，而数乘同样的也定义为逐点数乘。可以验证这样的操作的确能让这个集合成为一个线性空间，而更加巧妙的是，实际上我们是以另一种方式定义了上面的 $\R^n$！

然而有趣的地方不止如此，原因在于，这个 $n$ 个元素的集合，我们完全可以不取这个从 $1$ 到 $n$ 的整数集合，而是取我们喜欢的任何一个集合。什么 $\{\text{🍎},\text{🍑},\text{🍐}\}$，$\{\text{昨天},\text{今天},\text{明天}\}$，$\{\text{童年},\text{在人间},\text{我的大学}\}$ …… 我们都可以建立一个从它们到 $\R$ 的映射，然后让它成为一个线性空间，并且值得注意的是，这个集合中的每一个元素都将成为新的线性空间中的 基向量。

我们说称这样一个从具有 $n$ 个元素的集合映射到 $\R$ 的函数全体为所谓的 自由线性空间。并且，借助这个概念，我们还能得到两个事实：

• 一个有限维线性空间可以完全地由它的基确定。因为在给出这个基之后，我们总能用上面的方式构造出这个线性空间。
• 所有的 $n$ 维线性空间都是同构的，因为我们总能选择出它们的一组基，然后从这组基出发，以上面的方式统一地定义线性空间的元素以及它们的加法和数乘，最后得到原来的线性空间；而这些基作为集合都是同构的，因为集合的同构只要求它们之间存在双射，或者说两个集合的基数（势）相同。

既然如此，我们就可以把任意一个 $\R$ 上的 $n$ 维向量空间看作 $\R^n$，只需要通过集合间的同构 $\BaseBV \to \BaseE$ 把它们联系起来就可以了。这也许也解释了为什么我们会称一个向量空间为 数域 $\Bbbk$ 上 的线性空间的原因了。另外，我们还可以把 $\R$ 本身看作一个线性空间，它的基我们当然就可以直接取 $1$，挺方便的就。

最后，我们指出：自由 其实是来自于范畴论的一个概念。自由大概是说，从一个集合出发来构造一个范畴中的对象，仅仅考虑让它满足成为这个对象的必要的公理，而不添加任何的额外结构。这样得到的对象就成为了一个最最单纯的代数结构了。由于作者水平有限，这里不过多做解释（呜呜呜）。不过可以指出的是，任何有限维的线性空间都可以在选择好一组基的条件下成为一个自由线性空间，而如果考虑给这个线性空间更换一组基，它就变成另一个自由线性空间了，因为基不一样了。所以，自由线性空间和线性空间还是不太一样的。且对于无限维线性空间而言，并不是所有的线性空间都是自由的，而是那些 有有限支撑 的线性空间是自由的，即它的基只有有限多个基向量。

总之，作为一个特殊且重要的例子，$\R^n$ 的作用非常大，这一点在我们后续的讨论中会体现出来。

小结

我们这里简单做一个小结。本章中我们做了这些事：

• 简单约定了这个系列的记号体系。我们区分抽象向量、矩阵与标量分量，并且暂不使用爱因斯坦求和；
• 定义了线性空间：满足八条公理即可，并引入线性组合、线性相关/无关；
• 定义线性子空间与线性张成，说明生成集与张成的关系；
• 定义了基与维数，注意所谓的 “极大线性无关组” 和基是等价的；
• 指出向量在一组基下具有唯一坐标表示，并借此建立了抽象向量空间与 $\R^n$ 的同构联系；
• 简要地聊了一下线性空间和子空间的关系，即所谓的直和；
• 我们引入了线性映射/同构/算子等概念，它们是保持线性结构的映射；
• 聊了几句关于线性空间范畴的事，约定了一些记号（$\Hom,\End,\Aut,\Vect$），方便后续讨论；
• 简单研究了一下线性空间 $\R^n$ 的构造与它的标准基；
• 从一个新视角：“自由线性空间”出发，指出“所有 $n$ 维线性空间彼此同构”。

这一章我们对线性空间应该有一个基本的认识了。从下章起我们将从深入地讨论线性映射，它自身的一些特点，以及它与线性代数中的重要工具，矩阵，之间有什么样的联系。