看了好多证明蛇引理的视频，我也来试试~ 蛇年到了，重在参与嘛

头图出自 ぬくぬくにぎりめし 太太， 为 稲葉曇 所作的 ポストシェルター (Post Shelter)的曲绘。支持正版，就只有30秒试听了（）

写在最前

本命年到啦~！作为一个代数爱好者（自称，其实是名词党），最近在B站看到了很多的关于怎么证明蛇引理（Snake Lemma）的视频，比如这个视频。以前在自学代数的时候也遇到过这么个引理，但是看到这个部分的时候已经人快晕了（大概就是看完这个之后就抛弃了那本书吧，Algebra: Chapter 0），所以几乎等于没学过。这次看到这么多关于蛇引理的视频，自然是学习一下，这里也做一个记录吧。在本文中你将看到：

• 你在说些什么？
• 这么简单的前置竟然也要？
• 你这里跳步了吧？
• 就算我证的不好，我证的很搞笑也不行吗？

之类的高血压时刻。为了您的身心健康，如果你打算认真了解蛇引理的话，我还是不建议你深究这篇文章。当然，如果你是找乐子的话，我希望这篇文章能带给大家笑容。这篇文章的面向读者应该对最基础的代数有了解，比如集合啊，函数啊之类的，如果会线性代数就更好了，别的东西会中途提到，毕竟是名词党写的文章，当然起点会很低的吧（笑）。话不多说，开始吧。

简单（？）介绍

蛇引理究竟是什么呢？这是一个代数学定理，简单来讲，它做的事情和很多代数学定理一样：从已有的两个东西来创造出新的东西。比如，如果我们有一个集合以及集合上的等价类/等价关系，我们就可以构建出来一个商集；给定一个群以及它的正规子群，我们就可以构建出商群；把两个空间 $\mathbb{R}$ 叉乘起来（笛卡尔积），我们就得到了 $\mathbb{R}^2$。

那么蛇引理是针对什么样的代数对象呢？这里就要尝试引入我们的第一个概念：正合列 (Exact Sequence)

正合列，但是先别急

正合列，同调代数中的重要对象，是由链复型添以特殊的条件而产生的。链复型又是什么？链复型是一系列的交换群或者模通过同态连接起来，且相邻两个同态的复合为0。

也许你要说：天哪你在说什么鬼东西，这都是啥啥啥呀。既然我们假定读者只拥有最基础的代数知识，我们就从最基础的开始介绍吧。名词党最喜欢的名词介绍环节，启动！

群，交换群

上面说链复型是由交换群或者模带上同态构成的，为了简单，我们就不介绍模 (Module) 了，专注于交换群。

那么交换群，或者从头来讲，群，又是什么呢？有人会讲：群就是对称！有对称，就有群！挺好的，但是对称这种几何元素偏偏要符号化成群元素，这一步我倒是走了蛮久的。我们速通嘛，就说简单一点，尽可能地不丧失严谨性吧。群 (Group)，最为代数学中几乎是最基础的代数结构，和其余的许许多多数不清的代数结构类似，遵循这样的特点：

1. 从集合而来。它的 “底下” 一定是一个集合。这样我们就可以讨论这个代数对象中的元素了。
2. 它的内部有一个或者多个 “运算”。我们可以想象我们早已熟悉的乘法。既然是运算，我们对这么个东西有这样的要求：
   1. 首先运算是两个元素同时参与的。相乘的总是（起码）两个数。注意不一定非得是不一样的数哦。
   2. 两个元素经过运算之后应该得到一个元素。两个数相乘之后给出的也是一个数字。
   3. 这点不太明显，但是我们的运算总是应该从这个集合来，到这个集合里去。比如 $1\times 1\neq\mathrm{苹果}$。

这样就可以有一个（很基础的一些）代数结构啦。而我们的群，也正是这样的一个代数结构。不过它还有这样的特点：

1. 群的运算必须要是可以结合的。这意味着如果 $abc \neq (ab)c \neq a(bc)$，那它就不是群。（天啊真的有这样的神经结构吗）
2. 群的运算不需要是交换的。其实不交换的东西很常见，例如我们要先穿袜子再穿鞋，这肯定和光脚穿鞋后再套个袜子是不一样的啦。学过线性代数的朋友应该更有体会：矩阵乘法是不交换的。
3. 群得有单位元。何谓单位元？这不是元素吗？这里的单位元是和运算强相关的，说的就是群里的任何元素和这个单位元做运算之后一定得到的是它们自己。
4. 群中元素都得有逆元。没错，这里逆元的概念也是和运算相关的。所谓 “逆”，就是要把一个元素 “逆转” 回单位元。可以想象单位元就是某个出发的位置，每个元素都代表着某个让你移动的方式。而某个元素对应的逆元，就像你移动之后让你移动回原点的移动方式。能走出去，也得能走回来。就是这样。

其实上面的这些内容，经过一些整理的话就可以变成比较严格的群的定义了。然而严格定义谁都能查，这里也就偷个懒啦~ 这里指的指出的是，群上的运算我们一般就叫它乘法。而且在代数的语境下，很多运算我们都叫它乘法！所以在讨论代数结构中的乘法时要注意上下文哦~

太棒了！群是什么，已经狠狠地理解了！那么交换群？诶！交换群一定是运算能满足交换律了吧！

是的，答案就是这么简单，且无聊。交换群 (Commutative Group，又称阿贝尔群 Abelian group，为了纪念伟大的挪威代数学家阿贝尔)，就是能交换 (Commutativity) 的群 (Group)。你也许会对交换群感到失望，但是代数岂是如此无聊之物！？这一切的原因，其实是：我们还没有引入同态 (Homomorphism)。

同态，同构，等价关系

首先，代数中［Homo-］的词头其实很常见（？）。这是代表着两个东西之间一定有什么相同的地方。而同态，正是指出了两个代数结构之间相同之处的东西。请注意这里用到的是 代数结构 而非 群 或者 交换群。同态广泛地存在于代数学中，到处都是同态。那么同态是什么呢？其实你早就见过了。对于 集合 这个最基础的代数结构而言，同态就是 函数，或者说 映射¹。既然函数是对于集合而言特殊的同态，那么对于群而言，特殊的同态是什么呢？很可惜，没有一个特别的名字，或者大家就直接叫群同态了。然而群同态确实是有其特殊之处的。我们稍后再细讲这种特殊点在哪，以及何来的“同”一字。

回忆我们很熟悉的集合上的函数，它有这样的特点：

1. 函数必须要有定义域，它是一个 集合，且这个集合里的每个元素都能被函数处理（作用）。不能说有个定义域的元素不能被函数吃掉，那就礼崩乐坏了。函数是不会剩饭的。
2. 函数必须要有陪域。他也是一个 集合。请注意这里不是说不是值域，而是陪域。值域是函数能吐出来的东西组成的集合，而陪域则是函数吐出来的东西一定会存在的集合。所以，很自然的，会有一些陪域上的元素不会有任何定义域上的元素去对应。
3. 定义域中的每个元素 能且只能 对应陪域上的一个元素，而陪域上的元素可以有0个，1个或者很多个定义域上的元素对应。这就像投篮，球可以投不中，可以一个球一个框，也可以很多球进一个大框里，但是不能一个球同时进两个框。
4. 判断两个函数是否相等（没错，函数作为数学对象是可以判断是否与另一个相等的）的铁则是：定义域相同，陪域相同，定义域上的每个元素通过两个函数作用后得到的结果总是一样的。也就是说，要检测函数的三个要素都是一样的。表达式也许会骗人，但 函数的定义 永远是诚实的。

天啊我怎么又讲了一遍函数是什么？原因是：函数，作为同态的一个例子，自然就包括了同态的许多特点。然而同态还有一个重要的特性，也是被冠以 “同” 字的原因：同态必须保持结构！我们没有在集合中看到这样的特点，是因为集合里什么结构都没有。也许有人说：集合里的元素都是有名字的呀？什么 1 啊 2 啊的，这不就有结构那样的东西了嘛。这里要明确的是：集合里这些看似特殊的元素，它们的特殊性全都源自于我们为了能区分它们所给的，甚至就是为了能数清楚这些元素，不至于把它们搞混。So，集合真的很单纯，它上面的结构都是后面赋予的。当然，你也可以说 “没有结构” 也是一种结构，因为 函数不会把集合变成别的什么不是集合的东西，保持了 “没有结构” 的特点（结构）。

哦，好，但是说了一圈，到底怎么保持结构？群同态到底是什么样的？观察上面函数的特点，我们提炼一下：

同态要有来有去，且来去都是同一类东西，不能来去之后东西不一样了。这说明 同态不会给对象添加或删去任何结构。

就是说，群同态只能连接两个群。或者，一个群上如果作用了一个群同态，那么它就必须给出一个群。这点对于其他所有的代数结构都是一样的。

还是一头雾水？是不是觉得随便哪个集合上的函数都能在集合变身成函数后也跟着变成同态？没关系，就群同态而言，我们其实可以写出群同态需要满足的特点（多亏了运算的存在）。

设有两个群 $G$ 和 $H$，它们之间有个从 $G$ 到 $H$ 的群同态 $\varphi$。我们记群 $G$ 的运算为 $\times_G$，记群 $H$ 的运算为 $\times_H$，群 $G$ 中有俩元素 $g_1$ 和 $g_2$。这样一来，由于 $\varphi$ 是群同态，有：

$$\varphi(g_1 \times_G g_2) = \varphi(g_1) \times_H \varphi(g_2)$$

而且它有一个很神奇且重要的特点：群同态只能把一个群的单位元映射到另一个群的单位元。这点乍看很神奇甚至不可思议，但是经过简单的证明就可以得到这样的结论了。这也是为了保持群的结构而对群同态做出的一个很强的限制。这也说明了，代数结构越是复杂，同态的限制就会越大。

最后我们讲一种特殊的同态（或者态射，我们这里不区分两者，后面在范畴部分会做出说明），它需要有一个态射作为基础。我们设有这样的一个态射 $f:\\,A\to B$，且在 $A$ 中有一个保持原有 $A$ 结构的子结构 $A'$，在集合层次上则为包含关系。此时我们就可以定义所谓的 限制 （Restrict），就是把定义域从 $A$ 换到了其子结构 $A'$ 上而已。它的记号为：$f|:\\, A'\to B$。

我们接下来介绍同构 (Isomorphism)。它在集合函数中的对应就是所谓的一一对应函数了。回忆所谓的单射和满射，单射说一个萝卜一个坑，满射说值域就是陪域。而同时满足这两个条件的话，这个函数就是一一对应的函数啦。我们立刻使用一些新词来讲这些事情，因为函数（映射）是集合间的同态嘛。

同态中有单态 (Monomorphism)，也有满态 (Epimorphism)。而同时满足这两点的，即为所谓的同构了。它们的要求和集合函数是一模一样的。然而还有别的定义方法，使用态射的逆（啊没错它们都是态射但是这就留到范畴论再说吧）即可定义同态的单或满。回忆之前学过的逆函数这一存在，一个函数的逆函数再作用到函数的话就会变成恒同映射（把一个元素映射到它自己）。这是一种双边逆，更常见的情况则是一个态射只有左逆或者只有右逆。我们称有左逆的态射为单态，有右逆的态射为满态，有双边逆的则为同构。这个我们不证，有兴趣可以挑一些例子看看。请把重点放在 “能不能找到原来的元素” 以及 “如果能找到原来的元素，那么一定会如何”，并注意函数的复合是从右到左的。

这里顺带提出原像（Inverse image）的概念。原像是和某一个陪域中的元素，以及一个态射相关的。它本身是一个集合，记录了所经过该态射后能得到该陪域中元素的所有定义域中的元素。它的记号以及形式化的表达是：若存在一态射 $f\vcentcolon\space A\to B$ 以及 $b\in B$，则 $b$ 在 $f$ 下的原像记为 $f^{-1}$，定义为：

那么这样一来，单态则是所有陪域上元素的原像只能是空的或者只能有一个元素的态射，而满态则是所有陪域上的元素都有非空原像的态射。利用这个概念，同构还可以定义为所有陪域上元素的原像有且只有唯一一个元素的态射。

同构从字面意思来理解，是 “保持结构” 的映射。可是之前还说同态是保持结构的映射，这两个区别在哪里？事实上，同构比同态要求高多了。同构要求的是 “构造完全相同”，而同态则只要求 “是同一类东西，不会多结构，也不会丢结构”，却可以修改这个结构。比如，同态可以让一个大群变成一个小群，搞得里面的每个元素以前有更丰富的运算结果，结果到了小群里好多元素被捏在一起了，这些丰富的结果也就没了。而同构会很严格地将一个群变成另一个大小一模一样的群，它们结构的丰富程度或者精细程度是一模一样的。在只关心群这个整体以及它怎么与其他群发生转变，完全不关心群内部元素有什么特别之处时，我们可以说，同构的两个群，它们在同构意义下可以被视作是相同的。顺带一提，集合的同构就是映射到元素个数相同（集合的势相等）的另一个集合。这也是个大坑，感兴趣可以搜 Schröder–Bernstein 定理或者伯恩斯坦定理。

对于群而言，群的同态会把群的一个或几个元素捏在一起形成新群的一个元素。同态是创造新群的一个重要方式。但是假如我们考虑 把几个元素捏在一起形成一个新的元素 实际上意味着 对原来的群中的元素进行分类，那我们就会形成很有趣的结构，商群 (Quotient Group)。我们不会深入这部分，但是这个思想是极其重要的，因此我们需要介绍另一个概念：等价关系与等价类。

小学数学，甚至幼儿园数学，经常会遇到这样的题目：把一堆苹果分成若干份，每份有几个苹果；把苹果平均分成若干份，最后剩下几个苹果。这样的题目是为了让孩子熟悉除法，而我们这里则要指出，这就是除法，或者所谓的 “商” 所代表的含义。而我们在分苹果时所做的事情，就是在对苹果分类。

我们要如何进行分类呢？特别是对一堆苹果而言，分成堆时我们做了什么？也许我们有某个标准，也许就是简单的 “我乐意”，但分成堆的过程中每个苹果最终都有属于自己的一堆。假如我们要分成三堆，那么我们完全有理由将三堆起不同的名字，比如：科比，牢大，曼巴。这样一来，每个苹果就都有了一个属性，一个标签。而苹果之间有什么关系吗？有的。我们观察同一堆的苹果，如牢大这堆，会发现这样的（显而易见）的特点：

1. 一个属于牢大的苹果，那么他就属于牢大（？）
2. 如果一个苹果在牢大里，另一个苹果也在牢大里，那么它们俩就都在牢大里，不论进入牢大这堆的顺序
3. 如果苹果A和苹果B都在牢大里，苹果B和苹果C也在牢大里，那么苹果A和苹果C就一定在牢大这里。

不论分类手法如何，不管分类标准怎么样，上面这三条总是成立的。而在分好之后，对任何人都可以只宣称这堆苹果属于哪一堆，不用管它具体怎么样了。有人问这个苹果是哪个，都可以回答这个苹果是从科比或者牢大或者曼巴这堆里取出来的。

还是一头雾水？上面的例子是想说明这样的一件事：只要你选了，那就会形成一个标准，这个标准内的每个成员都会接受这样的束缚，而这个约束是有 自反性，反身性 和 传递性的。这些性质就刻画了一个 “关系”，称为 等价关系。我们刚刚用分好的类来说明这类关系一定存在，而反过来讲，根据这样的关系，也一定能进行这样的分类。最后分出来的 “每一堆”，我们就称为等价类。

分类是代数学中另一个极为重要的话题。有一些出色，重要且惊艳的研究正是建立在这样的分类问题上的，比如传说中的 有限单群分类，洋洋洒洒几千字的论文将整个单群分类问题整的明明白白。分类如此重要的原因还在于帮助我们创造新的代数结构，也就是所谓的 商。比如使用同态对群进行划分则会涉及著名的 群同构基本定理，描述了用同态下的等价关系创造出的商群有什么样的信息。

我们这里先不深入介绍商群，因为它将涉及到子群 (Subgroup)，陪集 (Coset)，正规子群 (Normal subgroup) 等概念，太啰唆了。这里只指出商群的记号为 $G/H$，其中 $G$ 和 $H$ 都是群，且 $H$ 是 $G$ 的正规子群。这个商群的元素是这样的：每个元素都是一个集合，这个集合内是群 $G$ 中的元素，并且这些群 $G$ 中的元素都相互等价，而这个等价关系则由群 $H$ 这样确定：元素 $a$ 和 $b$ 等价由 $a^{-1}b \in H$ 决定。换句话说，我们根据群 $H$ 制定了元素的分类标准，把分好类后的每个 “元素堆” 作为商群中的每个元素。能分多少堆，商群就有多少个元素。

要注意的是由于等价关系，商群中每个元素（也就是 $G$ 中元素的集合）里都可以选出唯一的一个 $G$ 中元素来代表。那么既然如此，我们就使用在代表元的头顶加个尖尖的东西来代表这个集合了。比如有一个等价类 $A$ 中有一个元素 $a$，此时我们就可以用这个元素 $a$ 来代表这个等价类 $A$：$\hat{a} = A$。这个记号还是比较重要的，所以这里提前介绍一下。

太棒啦！感觉智慧满大脑了~ 但是这么多前置了，和蛇引理有关系吗？还有多少前置需要呢？答案令人振奋呀：还有一节就好了！我们已经明白了同态是什么样的，交换群又是啥，商群里的元素怎么确定，有什么样的特点。我们只需要再看一看最后两个和同态有千丝万缕联系，作为 “群同构基本定理” 中的 C 位的两个特殊的代数对象，核 (Kernel) 与像 (Image)，就可以开始一窥蛇引理的神秘了~。

核与像

核的概念其实很简单，它高度依赖于同态，本身是一个特殊的集合（我们先看它单纯的集合结构）。它是同态的定义域上所有能被对应到陪域的 零元素 的元素，记号为 $\Ker$。假设有某个同态 $\phi$，那么在这个同态下的核就记为 $\Ker\phi$。这里的零元素应该是代数结构中普遍存在的单位元，而称为零元素的主要原因是因为对我们即将研究的许多代数结构而言，它们上面的结构实际上是交换的。交换的运算我们会叫它们 加法。而我们熟悉的加法的单位元就是 $0$。

我们上面只说了核底下依赖的集合是怎样选取的，然而由于同态的性质，核上经常都会有额外的代数结构。这一点很容易确定：对群而言，单位元自己本身就是一个平凡群，其上的唯一运算就是单位元和单位元进行运算之后得到单位元自己。那么既然单位元是一个群，由同态的要求，我们马上就可以得知，群同态的核很自然地就拥有群结构。不但如此，我们在此不加说明地断言：群同态的核总是群的定义域的一个正规子群！而有了正规子群，我们马上就可以讨论定义域的群商去这个同态的核所得到的商群了。事实上，群同构基本定理中就和同态的核关系非常密切，且经常使用核来构造商群。

对于核而言，我们还想提到这三点：首先核一定是依赖于某个同态的，没有同态是没有办法讨论核的。从它的记号就可以看出，我们选择使用 $\Ker$ 记录同态的符号而非其定义域，然而也请切记核作为集合而言一定是定义域的子集。

其次想要提到的是核在 同调代数 （也许也不是？）中的意义：核衡量了同态的性质，告诉了我们一个同态距离单态究竟有多远。这是由于这样的定理：核中的元素只有一个（也就是单位元）当且仅当同态是单态。那么如果核越大，同态距离单态就越远了；核越小，同态就越像单态。

最后一点也许会复杂一些，我们想提到的是：群同态的核由于一定是正规子群，而正规子群又一定能够被商掉。考虑我们上面提过的构造商结构的过程：被商的集合/结构是作为一个选择方式出现，而这个选择方式就是这个结构中的所有元素都被视为同一个元素。我们进行这样的猜测：这样用核来构造的商群中的元素，每个元素都是一个集合，而这些集合与核是相似的：它们都有同样的大小。幸运的是这样的猜测是成立的。最后也不卖关子了：商群中的元素就是正规子群的陪集，而每个陪集的大小都是相等的。所谓的陪集就是把群里面的子群用某个元素乘一下（移动一下）。这里说 “集” 有两个层面，一是我们不计划赋予它别的结构，他们就作为集合存在于商群；二是我们没法赋予群结构，除了最平凡的那个正规子群。更一般的陪集是没有办法满足单位元要求以及逆元要求的。

核真的很重要，所以我们聊了许多。不过这主要是由于核与商群之间重要的联系。有了这样的铺垫，我们理解像将会更迅速：像也是一个子群，但不是更特殊的正规子群。

像我们早就熟悉了，就集合层面而言，就是值域 “更代数”的一个名字。而同样由于同态的存在，像也一定是一个群。但是不同于核，像并不总是正规子群。这真是一个悲伤的故事，我们不能再愉快地构造商群了。也许你之前幻想着，既然核可以衡量同态与单态的距离，是不是像也可以衡量同态与满态的距离呢？因为很显然可以看到，像越大越可能是满态，像与陪域相同那就是满态了。然而很可惜，我们不用这种方式。

但是我们有三个好消息：第一条是，虽然像不是个正规子群，但是我们依旧可以用像构造商结构！第二条则是，虽然像不能衡量同态的信息，但是它构造的商结构可以！我们还给它一个特别的名字：余核 (Cokernel)。第三条则是，我们其实要研究的是交换群，而对交换群而言，所有的子群都是正规子群的！这样一来，前面讲的商结构也就可以是商群啦。

正合列，以及一点点点点范畴论

现在我们已经清楚了什么是交换群，什么是同态，什么是核，像，商群以及余核。是时候看看我们想要研究的结构了：正合列，以及对应的图。下面就是我们要研究的对象，也是一个图的例子：两个整合列所组成的图。

链复型

我们先来说说正合列（Exact Sequence）。上图中的正合列有两个，分别是 $0\to A \to B\to C\to 0$ 以及 $0\to A' \to B'\to C'\to 0$。它们中的 $0$, $A$ 等我们称之为 点，实际上是一个个交换群（一般是模，我们这里取交换群即可），而每个箭头都代表着一个同态。这些同态有着特殊的要求，如果这些同态只是一般的同态，那它们就什么都不是。为了使之成为整个列，我们需要先得到所谓的链复型（Chain Complex，上下文明确时可能直接叫复型 Complex）。

链复型要求使用同态将一系列的数学对象连接起来，通常这些数学对象以及对应同态还会有一定的顺序，且同态之间的复合还要满足特殊的要求。具体而言，链复型要求这样的序列：

满足条件：$d_{i+1}\circ d_{i} = 0$ 对于所有的 $i$ 都成立。这样的链复型可以被记作 $(M_\bullet,d_\bullet)$。这样的定义蕴含了下面的信息：

1. 交换群的序号从高到低，同态序号也从高到低
2. 对于所有的同态而言，左侧的同态复合上右侧同态得到的是零同态，也就是把所有的元素映射到单位元上（对于交换群，单位元就是0）
3. 由上面一条，如果左侧同态复合右侧同态得到了恒通映射，就说明左侧的同态必须把元素映射到右侧同态的核里面。若不然，则无法达成两次复合后为零同态。

链复型的结构要求每个点都是同一种结构（交换群），且某个点里的任何一个元素沿着链复型移动两次后一定会映射到单位元（后面称零元）上。这样的代数结构是为了方便我们讨论所谓的 同调，也正因如此，链复型是同调代数中最基础也最重要的代数结构之一。

同调群，正合，正合列

上面提到，正合列是在链复型商加条件得到的，而这个所谓的条件就是 正合 条件。而为了讨论正合，我们还要引入同调群的概念。有了同调群，正合就非常好判断了。

我们还是用上面的链复型来举例，所谓的同调群是指这样的商结构：

即一个同态的核与上一个同态的像之间的商群。当链复型的某个点处（即某一个 $n$）的同调群是平凡群（即只有一个元素的群，记作 $0$）时，我们称这个点上是 正合的。而如果每个点都是正合的，我们就叫这个链复型为正合列。表达正合关系也可以不借助同调群，因为同调群等于平凡群就相当于说

从这个角度来看也许更好理解正合是什么样的关系。仅从集合的角度来讲，链复型的要求就是在说 $\Img d_{n+1}$ 必须在 $\Ker d_n$ 的里面，它们之间可能有缝隙：$\Img d_{n+1} \subseteq \Ker d_n $；而正合则表示，这两个集合之间是没有缝隙的。这也许也是正合这个字的来源吧。

最后我们指出，我们上面的那个图片里所给出的两个正合列更为特殊，因为很短，所以叫它 短正合列。不难看到，由 $0$ 出发的态射是单态，到 $0$ 结束的态射则是满的。而又根据正合的条件，可以得到 $f$ 必须是单态（不然 $\Ker f \neq 0$），$g$ 则必须是满态（否则 $\Img g \neq 0$。

图与交换图

学代数的时候会遇到许许多多用箭头代表的态射，而我们也常常需要将态射复合起来形成新的态射。有时我们又会发现，一个态射可以通过两种甚至多种不同的态射复合方式得到。单靠语言经常会感到乏力，自然而然地，我们想到用图（Diagram）来绘制出这样的想法，把一些态射按照对应的数学对象连接起来。上面链复型或者正合列的表示实际上已经是一副图了，但是这个图还是比较简单的。而当我们发现一个态射可以通过不同的态射复合方式得到时，我们就可以把它们画出来，这样的图我们称是交换的，这种图我们叫做交换图（Commutative Diagram）。

以上面的用两个短正合列组成的那个图举例，如果有 $\beta\circ f = f'\circ\alpha$ 以及 $\gamma\circ g = g'\circ\beta$，那么它就是一个交换图。我们后面把态射复合时中间的圆圈 $\circ$ 省略掉。

一点点的范畴论

我们最后简单地提一嘴范畴论吧。范畴论是从拓扑那里来的，是根据不同的几何结构间精巧的关系而诞生的描述这种关系的语言，但是后来逐渐被大家发现，好像很多数学结构之间也是可以构建出类似关系的。自此，便有数学家开始建立范畴论，用以正式地，形式化地描述不同数学结构它们内部的或之间的关系。

我们举一些简单的例子，来看看什么是一个 范畴（Category）。一个很简单的例子就是 所有 的集合以及集合之间的 所有 函数们所构成的范畴 $\mathsf{Set}$ 了（具体某个范畴的记号一般使用无衬线体，根据情况省略部分字母），另一个例子则是所有群以及所有的群之间的同态所构成的范畴 $\mathsf{Grp}$。可以看到很多都是 “所有的数学对象以及它们之间所有的同态构成的范畴” 这样的形式。这样的范畴还是比较基础且常见的，且根据这样的形式，我们可以很自然地总结出别的一些范畴，比如 $\mathbb{R}$ 上的所有线性空间以及所有的线性映射构成的范畴 $\mathsf{Vect_\mathbb{R}}$，所有的环以及其同态构成的映射构成的范畴 $\mathsf{Rng}$，等等等等³。

范畴之间是可以相互联系起来的，这种联系我们也可以像箭头一样写出来，称为函子（Functor）。而函子之间也可以做出联系，称为所谓自然变换（Nature Transformation）。不过好消息是，我们不需要关注这些内容，而只需要关注某一个具体范畴（具体来讲，就是阿贝尔群范畴 $\mathsf{Ab}$）的内部即可。

范畴的作用除了给出不同类型的数学对象之间有什么样的联系之外，也给我们提供了一个讨论问题的舞台。我们可以直接讲我们在某个范畴中研究什么样的问题，此时范畴本身就给出了我们要研究内容的重要信息。另外，范畴论给了我们一些用以描述数学对象关系的语言，它们通常可以一针见血地指出数学对象间是什么样的关系，当然也因为过于抽象且过于具有总结性而被戏称为 “抽象废话”。

最后，借助范畴论中的一些内容，比如交换图，我们可以方便地描述数学对象之间的关系。

所以，蛇引理到底讲了什么

终于，我们把为了描述蛇引理讲了什么而需要的一些基础内容介绍完了。可以看到，蛇引理还是需要比较多的前置的。下面就是这个所谓的蛇引理了。我们介绍的是建立在两个短正合列所构成的交换图上的简单版本的蛇引理。具体内容如下：

蛇引理：

设有如下图所给出的交换图：

其中第一行和第二行均为正合列，每个点均为阿贝尔群（交换群）。由这样的两个正合列，我们可以构造出下面的正合列：

且当交换图中的虚线箭头成立时，对应的虚线箭头也成立。

这条引理由于构造出的正合列需要像蛇一样从交换图的左上角开始出发一路拐到右下角而得名。真是恰当的名字。由于我们已经知道所谓的余核，所以上面的正合列实际上还可以写成这样更加对称的形式：

对称？对称在哪？

我们常常讲 “对称”，对称常常能带来强烈的美感。然而，对称到底是什么？

我们从小就知道轴对称，稍晚会学到中心对称，旋转对称等等。然而这些对称始终没有一个综合的描述方法，它甚至不像是数学的内容，反而更像是美术的内容。然而，有了群，我们就可以描述这样的对称性了：对称，就是使用一个群对其进行作用后仍然能回到自身的性质。对称就蕴含于群内部。

然而我们这里打算提到的对称，并不是和群相关的，而是和交换图相关的。从交换图上可以看到，如果把底下的链条用余核来代替，那么这个图就是非常对称的：上面是核构成的链条，下面是余核构成的链条；左下角是一个单态，而右上角则是一个满态。然而我们肯定不能单纯满足于这样的只从图上看到的对称，我们想问这样的问题：余核，它和核的定义区别如此之大，为什么会这么自然地存在于这个图内？它们俩之间究竟有什么样的关系，让最后的这个交换图呈现了这样的形状？或者问得更简单一些：余核，什么是 余？它好像是剩余的意思，但是从英文上来看又完全看不出这样的关系。余 到底是什么？

我们做一点剧透：因为范畴和交换图，即因为核与余核之间定义的对称性。可能会有人有这样的疑问：核与余核之间的定义的对称性？从形式上来看完全没有任何的对称性呀？我们指出：在范畴论的语言下，两者完全可以使用 泛性质 进行定义。我们后面会提到所谓的泛性质是什么。

我们观察核的定义：核是对一个同态定义的。比如有这样的（群）同态：$\varphi \vcentcolon G\to H$，那么这个同态 $\varphi$ 的核就是一些群 $G$ 中的元素所组成的集合，这些集合在同态 $\varphi$ 的作用下会映射到群 $H$ 的单位元处。或者我们采用原像的写法，$\Ker \varphi = \varphi^{-1} (1_H)$。

那么我们应该怎么把他改写成使用范畴定义的东西呢？我们抓住范畴论的核心思想：使用态射来研究对象。作为一个同态的核，它在映射之后一定会到单位元上；作为一个群，它一定是同态的定义域的子群。我们可否用这个性质来做文章？答案是肯定的：我们就如此定义，但通过范畴论的语言来描述这个过程。

我们定义态射 $\varphi \vcentcolon G\to H$ 的核是这样的一个群范畴 $\mathsf{Grp}$ 中的一个对象 $\Ker \varphi$，这个对象到同态 $\varphi$ 的定义域 $G$ 之间存在一个包含同态

$$\begin{align*} \iota \vcentcolon \Ker \varphi &\hookrightarrow G\\ g &\mapsto g \end{align*}$$

（我们这里使用带钩箭头标明它是一个单态）；此外，这个对象满足这样的性质：对于任意的同态 $\alpha\vcentcolon X\to G$，只要满足条件

$$\varphi\circ\alpha = 0,$$

（此处 $0$ 代表零映射，或者叫平凡映射（Trivial Map），即将所有的元素都映射到单位元 $1_H$ 上），那么同态 $\alpha$ 即可被唯一地分解，即对某个 $\alpha$ 而言，存在唯一的一个同态 $\overline{\alpha}\vcentcolon X\to \Ker \varphi$，满足 $\alpha = \iota\circ\overline{\alpha}$。将这些性质使用交换图来描述的话，就是说下面的这个交换图成立：

换句话来说，对于任意满足条件 $\varphi\circ\alpha = 0$ 的态射 $\alpha \vcentcolon X \to G$，它们都一定可以被分解成两个映射，且这个分解方式是固定的：先有一个唯一的映射 $\overline{\alpha}$ 将 $X$ 映射到一个群上，然后再从这个群出发，保持原样地通过包含映射 $\iota$ 映射到原态射的陪域 $G$ 中。而这样的固定且特殊的元素，就是我们要找的映射 $\varphi$ 的核，也就是 $\Ker \varphi$。

我们观察这样的定义，它实际上确实定义出了我们熟悉的核，只不过是用了更加范畴论的形式，并没有研究元素内部是如何映射的，而是使用了 平凡映射 来包含所有我们需要的信息，再通过唯一分解的方式来确定它的地位。它只是换了一种更加 fancy 的说法而已。

而接下来，我们就要仿照这样的形式，来定义余核。我们先来观察已有的余核定义，它被定义为同态的陪域模除掉同态的像得到的结构。为此，我们需要先来看看商的泛性质。我们依旧在群范畴内讨论这个问题，但是它很容易就可以推广到其他的结构中。

从商的构造过程来看，构造商结构时需要取一个等价关系，然后根据这个等价关系进行划分，最后将所有的等价类放在一起，每个等价类作为一个商结构中的一个元素，这就是取商的过程。如果要在范畴论中讨论这个问题，那么就需要从与商相关的态射出发考虑这个问题。首先我们看取商的过程。

鉴于上面的过程的统一性，我们将这个过程化为一个态射，称之为商映射 (Quotient Map)，记作 $\pi$。当明确左或右陪的元素时，也可以在这个记号的左下标处记下该元素，如从整数群构造 n 阶循环群的过程，其商映射就可以记为 $\pi_n\vcentcolon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} /n\mathbb{Z}$。有了这样的记号，我们的讨论也会更加便利。

既然从态射角度出发，我们想观察：假如从群 $G$ 到群 $G'$ 有一个同态 $\varphi$，而群 $H$ 是 $G$ 中的正规子群（因此可以被模掉）且 $H\subseteq \Ker \varphi$（为了保证商群依旧能映射到 $G'$ 上）。那么，这个同态 $\varphi$ 与 $G$ 模 $H$ 得到的子群 $G/H$ 之间有什么样的联系呢？我们有这样的定理，同样，可以用交换图来表示：如果有上述条件存在，那么则存在一个唯一的映射 $\overline{\varphi}$，使得 $\varphi = \overline{\varphi} \circ \pi$，即下面的图交换：

怎么理解这个图的交换性呢？当我们把 $G$ 映射到 $G'$ 时，由于该映射的核的限制，必须有和核的元素个数一样多的元素被映射到同一个 $G'$ 中的元素里（考虑我们定义的核，以及商映射的特点）；当将 $G$ 商映射到 $G/H$ 上面时，由于 $\Ker \varphi$ 的元素比 $H$ 中的元素数量要多（上面的子集关系），此时从 $G$ 到$G'$ 的同态 $\varphi$ 对其定义域 $G$ 的 “收缩力度” 是一定不如商映射 $\pi$ 的。因此，我们一定可以从商映射得到的 $G/H$ 中再做一次映射，从 $G/H$ 重映回 $G'$，使得 $\varphi$ 最后被表示为 $\overline{\varphi}$ 与 $\pi$ 的复合。也就是说，$\varphi$ 被分解为了两步：首先，通过正规子群进行分类，由于我们取的正规子群比核小，所以商群内的每个元素必定被映射到同一个元素内;在进行这样的分类后，再进行一次映射，把分好的等价类按照其中元素原有的根据 $\varphi$ 的映射方式来将这些等价类映射到对应的 $G'$ 中的元素里。由于拉格朗日定理，子群的关系保证了这样分类得到的等价类个数一定是整除态射 $\varphi$ 的像的，这也就保证了这个同态是良好定义的，并不会出现一个等价类映射到两个 $G'$ 中元素，或者映射到同一 $G'$ 中元素的等价类数目不同这样的情况。

在理解上面定理的含义后，我们指出：实际上我们可以借助商的这一泛性质来定义商结构和商映射，即：设 $G$ 是一个群，其有一正规子群 $H$，则通过如下两个泛性质即可定义商群 G/H 与商映射 $\pi$：

1. 存在一个群 $G/H$ 和一个群同态 $\pi\vcentcolon G\to G/H$，满足 $\Ker \pi = H$；
2. 对任意的群 $G'$ 与 群同态 $\varphi\vcentcolon G\to G'$，如果 $H \subseteq \Ker \varphi$，则存在一个唯一的群同态 $\overline{\varphi} \vcentcolon G/H \to G'$，使得上面的交换图成立。

也许你有疑问：我们不是在看余核是怎么回事吗？你怎么扯到商结构和商映射用泛性质的定义了？正是由于有了商结构的泛性质，我们才能更好地定义我们已经知道的余核。

这里也不继续卖关子了，为了定义余核，我们需要做的事情只有三件：一，将上面核的泛性质图里的所有箭头转向；二，把 $\Ker \varphi$ 换成 $\Coker \varphi$，把带钩箭头换成双箭头（代表满态），再把包含映射记号 $\iota$ 换为商映射记号 $\pi$；最后，我们再仿照核的定义，来讲所谓的余核是什么的时候，需要将群改为阿贝尔群（交换群）。我们先把表示它泛性质的图画出来；为了方便对照，我们把核对应的泛性质图用另一种形式画出并附上（两种交换图是完全等价的）：

相信到了这一步，你一定会相信所谓的 “对称” 绝非空穴来风。所谓的余核，说得简单点，就是把核的泛性质里的所有箭头都反转后定义出来的东西而已；甚至于对于范畴论而言，所谓的 “余” 就是将某个对象的泛性质里箭头全部反转后出现的对偶。一个著名的范畴论笑话是这么讲的：

A mathematician is a device for turning coffee into theorems, and a comathematician is a device for turning cotheorems into ffee.

我们再来看看余核的泛性质。很容易就可以看到余核的交换图的右侧出现了我们熟悉的身影：商结构和商映射的泛性质。通过这个小块我们得以了解到，$\Coker \varphi$ 应该具有某种商结构，需要用 $H$ 商去它的一个正规子群。那么它具体应该商去谁呢？注意到两点：

第一点是，商结构的特点决定了它要商掉的那个正规子群本身是可以作为陪集存在于商群中的。举个简单快速的例子，$A/B$ 这个商群里 $B$ 本身就是一个陪集，是用 $A$ 中单位元 $1_A$ 去陪 $B$ 得到；而这个特殊的陪集，由于用来左陪的元素是 $A$ 中单位元，它在商群 $A/B$ 中一定也是担任单位元的责任；

另一个点则来自于 $G\to X$ 必须是平凡映射这一要求。我们根据余核的泛性质，可以轻松地取这样的 $\beta$，让它就等于 $\pi$，这样一来 $\overline{\beta}$ 就变成了恒等映射，$X$ 也就变成了我们研究的 $\Coker \varphi$。那么，从群 $G$ 出发，在映射到 $\Coker \varphi$ 时必须到它的单位元上，那么从商映射的特点看，所有的 $G$ 中的元素都必须在经过 $\varphi$ 映射后出现到 $\Coker\varphi$ 商去的那个正规子群里。而满足这样条件的东西只有一个，即 $\Img \varphi$，且还有一个要求，就是 $\Img \varphi$ 必须是正规的，这就要求 $H$ 是交换群，进而要求整个泛性质中的群都得是交换群。

如此，我们又成功地从余核的泛性质的定义里拿到了我们熟悉的，用商群定义的那个余核。这也进一步指明了核与余核在范畴论意义下的对偶关系。然而，对于核以及余核而言，它们的定义还可以更加 fancy 一些：我们可以使用极限和余极限来定义核与余核，这里就不过多展开了，毕竟这篇文章不是讲范畴论的，而是为了证明蛇引理的来着（）

准备证明吧

我们的手牌已经集齐了，现在等待着我们的就是要证明这个引理。这个引理涉及到的阿贝尔群很多，同态也很多。我们需要一步一步地朝着目标前进，否则这个大个家伙是没办法一次搞定的。

证明思路

从最后的结果来看，我们有这样的几个问题是需要验证的：

1. $f|$ 的定义是否合理
2. $g|$ 的定义是否合理
3. $\hat{f'}$ 如何定义，是否良定
4. $\hat{g'}$ 如何定义，是否良定
5. $\delta$ 如何定义，是否良定
6. 每个点处是否正合
7. 若原交换图虚线箭头成立，得到的正合列是否对应虚线箭头也成立

我们不计划纠结于为什么核与余核在这里出现的如此频繁，只将之作为待证明的结论；也就是说，我们不考虑为什么选择了这样的构造，只考虑证明这个构造为什么是正确的。另外，我们可以发现第1点与第2点是很相似的，同样第3点与第4点也是很相似的。

在正式开始进行验证之前，我们做一些符号上的约定，以免待会儿晕符号。如果是 $A$，$B$，$C$ 中的元素，我们就用对应的小写字母代表；如果是 $A'$，$B'$，$C'$ 中的元素，我们就在对应小写字母的上面也对应地加上这个 $\prime$。如果需要从同一个群中取两个元素，为了区分它们，我们会再在右上角添加上 $*$ 来表示。如果是经过了同态/映射的作用，在需要时会加上其属于的群以做提示，而不再用 $\prime$ 或者别的字母做记号，除非这样的记号是必须的。

好了，我们开始正式的证明过程吧。

验证 $f|$ 的定义，然后 $g|$

我们第一个要验证的是 $f|$ 的定义，或者说仔细考虑怎么样去定义它。从图上可以看到，这个同态是 $f$ 在 $\Ker \alpha$ 上的限制，对它的定义的验证则是要验证 $f|$ 是否真的能把 $\Ker \alpha$ 映射入 $\Ker \beta$ 中，即验证 $\Img f| \subseteq \Ker \beta$。

为了验证这件事，我们只需要任意取 $\Ker \alpha$ 中的元素，如果这些点在 $f|$ 的映射下都属于 $\Ker \beta$，就可以验证这样的包含关系了（这也是子集的定义）。既然如此，我们取 $\Ker \alpha$ 中的一个元素 $a$，根据核的性质，既然 $a$ 在 $\alpha$ 的核内，我们知道 $\alpha (a) = 0 \in A'$，再根据同态的性质，群同态只能将单位元/零元映射到单位元/零元上，我们知道 $f' \alpha (a) = 0 \in B'$。由于交换图的性质，我们有：$\beta f (a) = f' \alpha (a) = 0$。请注意 $\beta (f(a)) = 0$ 就意味着 $f(a)$ 这一点位于 $\Ker \beta$，即 $f(a) \in \Ker \beta$，而这恰恰就是我们要证明的：任意一个 $\Ker \alpha$ 中的元素 $a$ 在经过 $f|$ 映射之后，都位于 $\Ker \beta$ 中。

这里有一个点需要指出：为什么我们明明要验证的同态是 $f|$，最后却直接使用了 $f$ 的性质？这是因为：$f|$ 除了更改了定义域的范围之外，所有的信息都得以保留。由于我们任取的 $a$ 满足 $a\in\Ker \alpha \subseteq A$，所以 $f|$ 对在 $\Ker\alpha$ 中语境下的 $a$ 所产生的影响，和 $f$ 对 $A$ 中语境下的 $a$ 产生的影响是一模一样的。这保证了我们可以放心大胆地使用 $f$ 的性质。

最后我们指出，这里的验证过程没有借助图表交换以及核的性质以外的任何要素，因此这套证明也可以直接照搬到下一个交换块，也就是关于 $g|$ 的定义的验证问题上。这里就不啰嗦了。

验证 $\hat{f'}$ 的定义，顺带 $\hat{g'}$

接下来要验证的就是 $\hat{f'}$ 的定义了。我们要验证的东西其实和上面类似，也是 $\Img \hat{f'} \subseteq \Coker \beta$。然而我们现在还不知道 $\hat{f'}$ 具体是怎样的，只知道它的定义域是 $\Coker \alpha$。所以我们先来看看 $\Coker \alpha$ 里都有什么，再看看 $\hat{f'}$ 是一个什么样的同态，最后来考虑验证上面所要求的定义。

$\operatorname{Coker} \alpha$ 里是什么样的

由于 $\Coker \alpha = A' / \Img \alpha$，其中的每个元素都应该是 $\Img \alpha$ 这种形式的陪集。

我们先考察一般的阿贝尔群（交换群）里某个同态的余核是什么样的。对于一般的阿贝尔群 $A$ 以及其上的某个同态 $f\vcentcolon\\,A\to B$ 而言，这里的等价关系是这样定义的：若 $a,a^* \in A$ 且 $a - a^* \in \Img f$，则认为 $a \sim a^* $，即 $a$ 与 $a^* $ 等价。这里的减号应该与 $a^* $ 一起理解为 $a^* $ 的逆元。这就形同 $a^{-1}a^* $ 在一般的乘法群中判定元素是否等价时一样。

与此同时，其他的等价类（陪集），按照加法记号，也应该可以写作这样的形式：$a+\Img \alpha$。（假如你没有点开哪些小箭头的话）我们使用代表元的记号来记录这个陪集，即 $\hat{a} = a+\Img \alpha$。我们在余核中定义的运算，则是借助余核所在的群的运算所定义的：直接将代表元按照原群中的运算进行，最后给它带上帽子（找到对应的等价类）。写成符号形式则是：假设有同态 $f: A\to B$，则这个同态的余核为 $\Coker f = A/\Img f \subseteq A$，再设余核这个群中有两个元素 $\hat{a}$ 与 $\hat{a^* }$，则余核中的运算为：$\hat{a}+_\mathrm{Coker}\hat{a^* } = \widehat{a+_A a^* }$。

现在一切都明了了。对于我们所要研究的问题而言，$\Coker \alpha$ 中的元素，就是一个个等价类，这些等价类用原群的元素作为代表元进行标记，如 $\hat{0}$, $\hat{a'}$ 这样。而其运算直接继承自群 $A'$，具体而言，只需要将用来与子群作用的元素相运算，最后再作用回子群即可。

$\hat{f'}$ 是什么样的

从交换图上可以看到，$\hat{f'}$ 是从 $\Coker \alpha$ 到 $\Coker \beta$ 上的。而在 $\Coker \alpha$ 中的元素则是众多的以代表元所代表的等价类。那么，在使用 $\hat{f'}$ 作用到 $\Coker \alpha$ 中的一个元素 $\hat{a'}$ 后，得到的则应该是位于 $\Coker \beta$ 中的一个元素，这个元素应该是形如 $b'+\Img \beta$ 这样的等价类，自然也可以被表示为 $\hat{b'}$。这就是我们需要验证的同态，$\hat{f'}$，具体在做的事。

让我们写的更加明确一些：我们要定义的 $\hat{f'}$ 应该是这样的：

其中 $a'\in A'$ 与 $b' \in B'$ 之间的关系有：$f'(a') = b'$。

那么就有值得注意的一些问题。两个元素等价时，它们自然属于同一个等价类，但这两个元素本身是可以不同的。假如两个不同但等价的元素在进入等价类后再被商群间的同态所映射，应该会得到一个目标群上的等价类。另外，自然，我们也要验证这个同态的像确实在陪域内。我们开始验证吧。

开始验证

我们取 $\Coker \alpha$ 中的一个元素 $\hat{a}$，这个元素是一个等价类，等价关系由 $a' - a'^* \in \Img \alpha \hArr a' \sim a'^* $ 给出。此时我们就取这个等价类中的这两个元素 $a',\\, a'^* \in A'$。那么，此时这两个元素在经过 $f'$ 作用后得到的就是 $f' (a')$ 以及 $f'(a'^* )$。这两个 $B'$ 中的元素应该依旧会被映射到同一个等价类中，也就是两个元素等价。判断两元素等价的条件则类似于前面的判断条件：$f' (a') - f'(a'^* ) \in \Img \beta$。我们可以看到：由于 $f'$ 是一个同态，同态是保运算的，则 $f' (a') - f'(a'^* ) = f'(a' - a'^* )$。注意到 $a' - a'^* \in \Img \alpha$，由像的性质，我们就一定可以找到一个存在于 $A$ 中的一个元素 $a$，使得 $\alpha(a) = a' - a'^* $。

我们理一下思路：我们先选取了两个在 $A'$ 中等价的元素；这两个元素的差，根据等价类划分的规则，必须是属于 $\alpha$ 的像的，那么就一定有一个对应的 $A$ 中的元素 $a$ 在 $\alpha$ 的作用下等于这两个 $A'$ 中元素的差。那么这时，我们就可以使用图表交换的性质了：$f'(\alpha(a)) = \beta(f(a))$。请注意这个地方：右侧显示 $\beta(f(a))$ 是属于 $\beta$ 的像的：$\beta(f(a)) \in \Img \beta$。这就说明了 $f'(\alpha(a)) = f'(a' - a'^* ) \in \Img \beta$。这样，我们就得到了我们所需要的：任取两个 $A'$ 中的等价元素，它们最终被映入了 $B'$ 的等价类，因为 $f' (a') - f'(a'^* ) \in \Img \beta$。

那么这样我们就可以进一步进入到对 $\hat{f'}$ 的验证：如果 $a'\in A'$ 且 $a'^* \in A'$ 且二者等价，就有 $a' + \Img \alpha = a'^* + \Img \alpha$。我们希望这两个应该相等的等价类在经过 $\hat{f'}$ 的映射后得到的是同一个 $\Coker \beta$ 中的元素。那我们就直接进行运算：

我们来解释一下上面的运算过程。第一步是使用了我们上面对函数做出的定义；第二步就是单纯地进行了个加减，不过这里的加减能成立必须利用交换群的性质；第三步则是利用了 $f'$ 作为阿贝尔群同态的定义；第四步则要应用到我们刚刚得到的结论： $f' (a') - f'(a'^* ) \in \Img \beta$；第五步则就是单纯运算回以 $\hat{f'}$ 表达的形式，完成我们的证明。

自此，我们证明了：两个任意的 $A'$ 中元素，当它们等价时，会且总是会被 $\hat{f'}$ 映射到同一个 $\Img \beta$ 中的元素。这句话还可以换个说法：我们定义的这个同态，是不依赖于等价类代表元的选取的（我们选了两个代表元，结果一样）；或者简单一些：这个同态是良定的。

我们完全可以按照相似的逻辑处理 $\hat{g'}$。这得益于我们上面的定义以及验证没有用到除了交换图提供的信息外的任何额外附加信息。所以我们就不特别定义并验证这个 $\hat{g'}$ 了，直接借用这里的定义以及验证方法即可。

$\delta$ 的定义与验证

这个 $\delta$ 的定义算是证明蛇引理过程中的一个难点吧，这也是蛇引理的关键一步，也是 “蛇” 这个字的由来吧。我们应该如何从一个核映射到余核呢？从交换图上来看，是需要从 $C$ 中的子集映射到 $A'$ 上的等价类的。这应该如何是好呢？

$\delta$ 应该是什么样的

好消息是：我们对同态 $g$ 以及 $f'$ 是有一些说法的：$g$ 一定是满态，而 $f'$ 则一定是单态。这是根据这两个正合列的性质，或者说是正合列中 $C$ 点与 $A'$ 点的性质而得到的。我们前面也有提到这个结论，这里简单说明一下：由于 $C$ 映射到平凡群的同态一定是一个满态，这个满态的核就一定是 $C$ 本身；由于正合的要求，$g$ 的像就必须是 $C$ 了，也就是 $g$ 是满的；由于 $0$ 到 $A'$ 作为同态必须也只能映射到 $A'$ 中的单位元，所以这个映射的像就只能是那个单位元自己形成的平凡群；由于正合列的性质，$f'$ 的核则只能是这个平凡群，也就是说它是一个单态。

这两个信息对于 $\delta$ 的构造是必须的，否则我们没有一个很好的从 $C$ 一路走回 $A'$ 的方法。当然，有了上面的提示，我们很自然想到，这个 $\delta$ 的构造应该是什么样的。它会从 $C$ 出发，从 $g$ 反着走到 $B$ 点，在经过 $\beta$ 的映射之后，再通过 $f'$ 反过来到 $A'$ 上。我们来更细致地考察这个映射构造过程的每一步吧。

$\delta$ 的具体构造

我们的 $\delta$ 是从 $\Ker \gamma$ 开始的，自然我们就取 $C$ 中的子集 $\Ker \gamma$ 里的一个元素 $c$。得益于满态的性质，我们一定是可以在 $B$ 中找到某个元素 $b$，使得 $g(b) = c$ 的。

注意到我们对 $c$ 的选取，这个 $c$ 是在 $\Ker \gamma$ 内的，所以就会有： $\gamma(g(b)) = 0$。再根据图的交换性，我们就有了 $g'(\beta(b)) = \gamma(g(b)) = 0$，也就是说 $\beta(b) \in \Ker g'$。

这时我们要根据正合列的性质来继续向 $A'$ 推进。由于正合性，我们有 $\Img f' = \Ker g'$，因此 $\beta(b) \in \Img f'$，而既然 $\beta(b)$ 出现在了 $f'$ 的像中，就一定会有一个 $A'$ 中的元素，我们记作 $a'$，一定会在 $f'$ 映射后到我们之前拿到的 $\beta(b)$ 上。

最后，由于 $f'$ 是单态，上面说的那个 $a'$ 在此时是唯一确定的。而这个唯一确定的元素在 $A'$ 对应的商群 $\Coker \alpha$ 中自然也是属于唯一的一个等价类的。

我们现在回溯一下这个过程：我们取了 $\Ker \gamma$ 中的一个元素 $c$，它一定对应了某个 $B$ 中的 $b$。但要注意的是，因为仅有 $g$ 是满态的要求，这个 $b$ 可能不唯一。接着我们从这个 $b$ 自然地得到了 $\beta(b)$，而它则有 $A'$ 中存在且唯一的对应元素 $a'$。这个元素，很自然地，在 $\Coker \alpha$ 中就有了唯一的等价类。总结下来就是：每个 $\Ker \gamma$ 中的元素经过我们上面的映射过程，都是可以得到 $\Coker \alpha$ 中的等价类的。

然而这给了我们一个亟待解决的问题：这个映射链最后是需要组合成一个同态 $\delta\vcentcolon\\,\Ker \gamma \to \Coker \gamma$ 的，而作为一个同态，每个定义域上的元素能且只能对应到陪域上的唯一一个元素。然而从我们刚刚的映射链过程来看，由于 $c$ 在 $B$ 中对应的元素个数是不确定的，虽然每个 $b$ 中元素都能对应到唯一的 $A'$ 中的等价类，但可能所有满足 $g(b) = c$ 的 $b$ 所能对应的 $A'$ 的等价类是不一样的。用更形式化的语言来讲，我们现在要解决，或者要证明的问题就是：

设存在两个 $B$ 中的元素 $b,\\,b^* $，满足 $g(b) = g(b^* )$，求证这两个元素在经过映射链 $\beta$ 与 $f'$ 的反向作用（我们以后就记这个反向作用为 $(f')^{-1}$ 了，这个记号是合理的，我们后面会提到） 后得到的元素在 $A'$ 中是等价的，其中等价关系由 $a' - a'^* \in \Img \alpha$ 给出。

如果这个命题得到了验证，那么就说明这条路走得通，一个唯一的 $\Ker \gamma$ 中的 $c$，不论它在 $B$ 中对应有多少个元素，最后都会在 $A'$ 里对应到同一个等价类里，也就是在 $\Coker \alpha = A'/\Img \alpha$ 中有唯一的一个元素与之对应。这样就验证了 $\delta$ 的定义。

$\delta$ 构造的验证

我们开始上面这个命题的证明吧。这里需要注意的第一个问题，同时也是指明了我们应该朝着哪个方向前进的信息，是：我们最后要得到的内容是和 $\Img \alpha$ 有关的。为此，我们一定是要用到 $\alpha$ 这个映射的相关信息的，而这也不可避免地涉及到 $A$ 这个群。因此，我们得想办法先把 $g(b) = g(b^* )$ 这个信息反映到 $A$ 这个群内。

好消息是，通过同态的性质，我们很容易就可以得到：$g(b-b^* ) = 0$，也就是说 $b-b^* \in \Ker g$。我们故技重施，得到 $b-b^* \in \Img f$，这让我们可以讨论已有的 $g(b)$，$g(b^* )$ 与 $A$ 中的元素的关系，即我们一定可以找到至少一个 $A$ 中的元素 $a$，使得 $f(a) = b-b^* $。

我们通过图的交换性可以得知，$\beta f (a) = \beta (b-b^* ) = f'\alpha(a)$。这时我们需要用到关于单态的一个性质。这个性质我们之前也提过，甚至这是关于单态的定义：具有左逆的态射为单态。如此一来，我们给第二个等号的左右两边同时作用上 $f'$ 的左逆。注意到左逆的定义，我们就有了：

回忆我们之前所提到的，$(f')^{-1}$ 由于 $f'$ 是单态，所以能唯一地确定 $B'$ 中元素在 $A'$ 中所对应的元素；$\beta$ 本身就是一个良定的同态，因此，以上这些就说明了这样一个事实：$(f')^{-1} \beta$ 是一个良定的从 $B$ 到 $A'$ 的同态，且 $(f')^{-1} \beta (b-b^* )$ 作为 $A'$ 的元素，它同时也是位于 $\Img \alpha$ 的。

那么此时我们再使用 $(f')^{-1} \beta$ 作为同态的性质，有：

至此，我们对上面进行总结：设有两个 $B$ 中的元素 $b$ 与 $b^* $，它们满足 $g(b) = g(b^* )$，则我们可以在 $A'$ 中找到这样对应的两个元素 $(f')^{-1} \beta (b)$ 和 $(f')^{-1} \beta (b^* )$，使得这两个元素在我们已经定义好的等价关系下是等价的。

如此，我们的这个命题得证。进而，我们就成功地构造出了良定的 $\delta$：

其中，$c \in \Ker \gamma$ 且 $c = g(b)$。

一些旁注

我们可以看到，为了构造 $\delta$，我们必须利用 $g$ 的满态性质以及 $f'$ 的单态性质，还需要利用交换图右侧部分的交换性。而在验证其定义的过程中，我们同样必须利用 $g$ 的满态性质以及 $f'$ 的单态性质（这里 $g$ 的满态性是直接作为命题的前置条件而存在的），然后还需要利用交换图左侧部分的交换性。$\delta$ 的构造充分利用了我们已有的所有条件，因此算是这个引理证明比较困难的一部分，同时也是关键的部分。而关于前面 $f|$，$\hat{f'}$ 的构造与验证过程中，都只用到了图的交换性，并没有利用 $g$ 是满态以及 $f'$ 是单态的条件。

我们再来关注 $\delta$ 的构造过程。我们从 $\Ker \gamma$ 中选择了任意的元素 $c$，它在 $g$ 的诸多原像 $b$ 们由于交换图的交换性质，在经过 $\beta$ 的映射到达 $B'$ 后都是位于 $\Img f'$ 上的。由于都在 $\Img f'$ 上，讨论 $(f')^{-1}$ 自然也是有意义的。

另外我们结合后面对该定义的验证过程，可以看到这个元素 $c$ 是怎么一步步抵达 $\Coker \alpha$ 的：这个元素 $c$ 在 $B$ 中的原像可能包含一个或者多个元素，这些元素经过 $\beta$ 映射后都存在于 $\Img f'$ 中，这个过程里可能有些元素映射到了 $B'$ 里的同一个元素上，也有可能并不是这样，不过这里没有关系。接着它们在单射 $(f')^{-1}$ 的影响下，各不相同地映射到 $A'$ 上，最后分类到同一个等价类中（纯符号地讲，其实就是加上了 $\Img \alpha$）。

验证过程说明了，只要都是在 $c\in\Ker\gamma$ 的原像里，注定都是会被分到同一个 $\Coker\alpha$ 的等价类里面的。然而，这个分类过程其实是在最后，在得到 $(f')^{-1}\beta(b)$ 后才完成的。好在，由于左侧块的交换性，在从 $c$ 找 $B$ 中原像的过程中，所有符合条件的 $b$ 之间的等价关系（指最终分类到同一 $\Coker \alpha$ 的元素中）早已被确定好了。

这里再重申一下单态和满态的性质。单态意味着若陪域中的元素的原像要么非空，要么则只有一个元素，同时单态拥有唯一的左逆；满态则意味着陪域中的所有元素的原像都不是空集。我们利用满态原像的性质得出，$\Ker \gamma$ 中的元素一定可以在 $B$ 中找到对应元素，而又通过单态的性质得出，在已知 $\beta(b)$ 存在于 $f'^* $ 的条件下，$A'$ 中有且只有唯一一个元素与之对应，且通过给 $\beta (b-b^* )$ 作用左逆得出它存在于 $\alpha$ 的像内。

$\operatorname{Ker} \beta$ 处正合性的证明

前面我们证明了我们要验证的点的 1-5，借此我们成功地将这些核呀余核呀之类的连起来了。然而，要成为正合列，它需要在中间的每个点上都是正合的。现在已经到手的链条是这样的：

这条链条的中间一共有 $\Ker\beta$，$\Ker\gamma$，$\Coker\alpha$，$\Coker\beta$ 四个点，我们需要分别验证它们两边的态射在它们自身处都是正合的。鉴于 $\delta$ 所连接的 $\Ker\gamma$，$\Coker\alpha$ 处的正合性会比较复杂（由于 $\delta$ 比较复杂），我们先验证 $\Ker \beta$ 处的正合性，再验证 $\Coker \beta$ 的，最后到剩下的两个。

为了验证正合性，我们需要验证：$\Img f| = \Ker g|$。由于链条上的都是态射，这个等号只需要集合意义上的成立即可在阿贝尔群意义上同样成立，而证明两个集合相等最常用的方法之一便是验证相互包含：$\Img f| \subseteq \Ker g|$ 且 $\Img f| \supseteq \Ker g|$，而为了实现这样的目的，我们会从待验证命题中较小的集合中取点，证明它一定在较大的那个集合中，即可验证这样的子集关系了。

在我们开始之前，我们把 $\Ker \beta$ 所在短链条写出来，方便后面观察：

那我们就开始吧，先从 $\Img f| \subseteq \Ker g|$ 开始。

证明 $\operatorname{Im} f| \subseteq \operatorname{Ker} g|$

我们就取 $\Img f|$ 中的一个元素 $b$，根据像的性质，一定有一个 $a\in \Ker\alpha$ 满足 $f|(a) = b$。而 $f|(a)$ 实际上就是 $f$ 在 $\Ker \alpha$ 上的一个限制，所以也就有 $f(a) = b$；同时，我们取 $g|(b) = c$，由于 $g|$ 也是 $g$ 在 $\Ker\beta$ 上的限制，所以 $g|(b) = g|(f(a)) = g(b) = g(f(a)) = c$。此时，我们考虑原正合列：

我们得到：$f(g(a)) = 0$。由此就得到了 $c = 0$。由于这个结论不依赖于 $b$ 的选取方式，我们就以这种方式得到了 $g|(b) = c = 0$ 恒成立，进而 $b \in \Ker g|$。而这，正说明了这样一件事：如果一个 $\Ker \beta$ 中的元素 $b$ 在 $\Img f|$ 里，那么它就一定在 $\Ker g|$ 中。这就证明了 $\operatorname{Im} f| \subseteq \operatorname{Ker} g|$。

这个命题的得证完全依赖与原正合列的性质，且通过证明该命题，我们得知上面的短链条已经是一个链复型了。下面我们需要证明的就是另一个方向的包含性，也就是：

证明 $\operatorname{Im} f| \supseteq \operatorname{Ker} g|$

我们故伎重施，取 $\Ker g|$ 中的一个元素，也叫它 $b$ 好了。既然它在 $g|$ 的核中，那么就有 $g|(b) = 0$，我们此时把 $b$ 放到 $B$ 集合中，此时 $g|(b) = g(b) =0$，说明 $b\in\Ker g$。而根据原链条的正合性，我们有 $\Ker g = \Img f$，因此 $b\in\Img f$。

然而到此依然不能证明 $b\in\Img f|$，因为 $\Img f|$ 是 $\Img f$ 的子集，无法从一个元素位于更大的集合中来判定它一定在更小的集合里。我们需要更多的信息。然而既然 $b\in\Img f$，我们就可以找到 $A$ 中的一个元素 $a$，使得 $f(a) = b$。又因为根据 $b$ 的取法，它在 $g|$ 的定义域 $\Ker \beta$ 上，一定就有 $\beta(b) = \beta(f(a)) = 0$。此时，我们根据交换图的性质，可以得到 $f'(\alpha(a)) = \beta(f(a)) = 0$。

这样的结果有什么用处呢？回忆 $f'$ 的性质，它是一个单态，因此就一定有左逆 $(f')^{-1}$。我们给上式的左右两边同时左乘（左作用）上 $(f')^{-1}$，就得到：$(f')^{-1}f'(\alpha(a)) = (f')^{-1}(0) = 0 = \alpha(a)$。观察最后一个等号，这又说明了 $a \in \Ker \alpha$。

我们整理一下当前得到的信息，我们有 $\Ker g|$ 中的一个元素 $b$，它在 $A$ 中有一个对应的元素 $a$，我们又得到了这个元素 $a\in\Ker\alpha$。请注意 $f|$ 的定义域正是 $\Ker\alpha$。这就说明了：$b$ 在 $A$ 中对应的元素一定也在 $\Ker\alpha$ 里，也就是 $b\in\Img f|$。同样，由于 $b$ 的选取不依赖于任何的额外条件，我们就证明了 $\operatorname{Im} f| \supseteq \operatorname{Ker} g|$。至此，联合上一小节的结论，我们得出结论：该短链在 $\Ker\beta$ 处正合。

一点注解

可以看到，前半部分的证明非常简单，直接借助原正合列性质即可，这样直接就证明了这个链条是一个链复型；而后面为了证明正合性的部分则需要使用到 $f'$ 是单态的条件。也许我们在证明 $\Coker \beta$ 处的正合性时，也会遇到这样的特点？我们直接开始吧。

$\operatorname{Coker} \beta$ 处正合性的证明

和上面一样，我们证明这样的正合性，会以对应映射的像与核相互包含为切入点进行。这次我们还是先证明这个短链：

是一个链复型（$\Img \hat{f'} \subseteq \Ker \hat{g'}$），再证明在中间的 $\Coker \beta$ 处是正合的（$\Img \hat{f'} \supseteq \Ker \hat{g'}$）。

证明 $\operatorname{Im} \hat{f'} \subseteq \operatorname{Ker} \hat{g'}$

照旧我们选择 $\Img \hat{f'}$ 中的一个元素，由于 $\Img \hat{f'} \subseteq \Coker \beta$，这个元素将会是等价类 $\hat{b'} = b' + \Img \beta$。我们想要证明，在前面这个条件下的任何 $\hat{b'}$ 都会被 $\hat{g'}$ 映射到 $\hat{0} \in \Coker \gamma$ 上。既然 $\hat{b'}\in\Img\hat{f'}$，我们就可以取到 $\Coker \alpha$ 中的一个元素 $\hat{a'}$，使得 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{b'}$。

此时，请回忆我们是如何定义 $\hat{f'}$ 的：我们直接借助了原有的同态 $f'$，使得具有了这样的性质：

带着这条性质，我们观察到：若是对 $\hat{b'}$ 作用上 $\hat{g'}$，就有：

其中，第一个等式是我们一开始取到的 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{b'}$，第二个等式是利用了我们上面给出的 $\hat{f'}$ 的性质，而第三个等式则是同样，再次利用 $\hat{g'}$ 它与 $\hat{f'}$ 同样的性质（因为定义是类似的）。最后，第四个等式则利用了原正合列的性质，有 $g'(f'(a')) = 0$。由此，我们再一次地，像上面证明 $\Ker \beta$ 处正合的第一部分一样，证明了 $\Coker \beta$ 处正合的第一部分：无论 $\hat{b}$ 如何取，只要它位于 $\Img \hat{f'}$ 中，就一定位于 $\Ker \hat{g'}$ 中。

证明 $\operatorname{Im} \hat{f'} \supseteq \operatorname{Ker} \hat{g'}$

下来我们就证明 $\Coker \beta$ 处正合的第二部分。我们希望能从 $\Ker \hat{g'}$ 中取到的元素能够以某种方式放到 $B'$ 中去，然后借助原正合列的性质去取得在 $A'$ 中或者 $\Coker \alpha$ 中的一些结论。 因此依旧，我们取 $\hat{b'} \in \Ker \hat{g'} \subseteq \Coker \beta$。由于 $\hat{b'}$ 在 $\hat{g'}$ 的核中，我们有 $\hat{g'}(\hat{b'}) = \hat{0}$。我们把这个运算拆开，有

由此可以得知，$g'(b') \in \Img \gamma$。然而，这和我们之前所做到的并不一样：$g'(b')$ 只是位于 $\Img \gamma$ 中，它并不等于 $0$。不过，我们依旧可以借助这个条件。

从 $g'(b') \in \Img \gamma$ 条件中可以得知，一定有一个 $c \in C$ 使得 $\gamma(c) = g'(b')$。而此时，又由于 $g$ 是满射，我们知道一定有一个 $b \in B$ 使得 $g(b) = c$。把它们组合起来，就有了： $\gamma(g(b)) = g'(b')$，此时根据交换图的性质，就有了 $g'(b') = \gamma(c) = g'(\beta(b))$。我们现在把最右边这项移项到最左边，就有了 $g'(b'-\beta(b)) = 0$。

通过上面的方式，我们成功构造出了一个位于 $g'$ 的核中的元素。因此，直接借助短链

是正合的这一条件，就有：$b'-\beta(b) \in \Ker g' = \Img f'$。

我们现在再看看这个新构造出的，位于 $\Img f'$ 中的这个元素的等价类是什么样的。我们把 $\hat{b'}$ 写成 $b' + \Img \beta$ 的形式，此时又由于 $\beta(b)$ 自然就在 $\Img \beta$ 中： $\beta(b) \in \Img \beta$，我们就有 $b'+\Img \beta = b' - \beta(b) + \Img \beta$。这意味这我们新构造出的这个更好的元素，它与我们一开始选择的 $b'$ 是等价的，都可以作为 $\hat{b'}$ 的代表元。

现在我们现在想知道的是，对于等价类 $\hat{b'} = b'-\beta(b) + \Img \beta$，是否一定存在 $\Coker \alpha$ 中的某个等价类，使得它在 $\hat{f'}$ 的作用下就是我们已有的 $\hat{b'}$。为此，我们回到刚刚构造出的，位于 $\Img f'$ 中的这个元素 $b'-\beta(b)$。既然在 $f'$ 的像内，就一定有一个或者几个元素 $a' $ 满足 $f'(a' ) = b'-\beta(b)$。我们知道，$a'$ 在 $A'$ 中的等价类是 $\hat{a'} = a'+\Img \alpha$。而该等价类经过 $\hat{f'}$ 的作用后得到的结果是：

好，我们现在总结我们已有的信息。我们从一个任意的 $\Coker \beta$ 中的元素 $\hat{b'}$ 出发，构建出了一个位于 $\Ker g'$ 中的元素 $b'-\beta(b)$，其中 $b$ 是直接根据 $b'$ 确定的。这个新的元素所处的等价类就是我们之前挑选的等价类。另外，我们从构造的元素出发，得到了若干个位于 $A'$ 中的元素 $a'$。它所在的等价类则是 $\hat{a'}\in\Coker \alpha$。现在，我们可以注意到：我们只挑出来了一个 $\hat{b'}$，剩下的所有的东西都是由它以及它相关的量决定的。也就是说，$\hat{b'}$ 决定了这些 $\hat{a'}$。而经过上面式子的验证，有 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{b'}$。这就说明了：任取一个位于 $\hat{g'}$ 的核内的元素，我们都能确定出一些 $\hat{a'}$，它们全都是满足 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{b'}$ 的。

这就证明了我们想要的结论：任意一个 $\hat{g'}$ 的核内的元素都是 $\Coker \alpha$ 中元素的像，也就是 $\operatorname{Im} \hat{f'} \supseteq \operatorname{Ker} \hat{g'}$。再结合上一节证明的内容，我们就证明了这个链条在 $\operatorname{Coker} \beta$ 处是正合的。

Callback

可以看到，对于 $\operatorname{Coker} \beta$ 处正合性的证明，是和 $\operatorname{Ker} \beta$ 处正合性的证明很类似的。不过我个人感觉，后面证明的这个，相比于 $\operatorname{Ker} \beta$ 处正合性的证明是要难一些的。这可能是因为需要手动构造一个 $b'-\beta(b)$ 来满足应用正合性的条件，以及对余核的性质的不熟悉吧。总之，顺利地证明了。而下面要证明的，就和我们自己构造出的 $\delta$ 相关了。

$\operatorname{Ker} \gamma$ 处正合性的证明

接下来我们尝试证明短链

在中间一点处的正合性。我们依旧采取原来的策略。

证明 $\operatorname{Im} g| \subseteq \operatorname{Ker} \delta$

照旧取一个 $\Img g|$ 中的元素 $c\in C$，我们希望能证明 $\delta(c) = \hat{0}$ 恒成立，这样一来自然就有 $\Img g| \subseteq \Ker \delta$ 了。

既然 $c\in\Img g|$，就会有一个元素 $b\in \Ker\beta$ 使得 $g|(b) = c$。又由于这个 $b$ 是在 $\beta$ 的核中的，因此 $\beta(b) = 0$。此时我们再作用上 $(f')^{-1}$，由于 $f'$ 是单态，所以把 $0\in B'$ 作用上它的左逆只能得到唯一的元素 $0\in A'$，而这对应的 $\Coker \alpha$ 中作为元素等价类正是 $\hat{0}$。

注意到我们上面的步骤，实际上就是在对 $c$ 作用 $\delta$。因此，我们得到了我们想要的结论：$\delta(c) = \hat{0} \in \Coker \alpha$，也就证明了本命题。

证明 $\operatorname{Im} g| \supseteq \operatorname{Ker} \delta$

我们还是取 $c\in \Ker \delta$。因此，$\delta(c) = \hat{0} = 0 + \Img \alpha$。我们回顾 $\delta$ 的构造，或者说从 $c\in\Ker\gamma$ 出发抵达 $\Coker \alpha$ 的过程，如果 $\delta(c) = \Img \alpha$，那么 $c$ 就一定会经理这样的过程：它首先在 $B$ 中找到原像中的元素 $b$ 们，然后把这些元素打包被 $\beta$ 映射到 $B'$ 上，此时由于我们的构造，所有的 $\beta(b) \in \Img f'$。此时就一定有许多对应的 $a' \in A'$ 满足 $f'(a') = \beta(b)$。最后由于 $\delta(c) = \hat{0} = \Img \alpha$，必须要有 $a' \in \Img\alpha$ （注意，不是 $a' = 0$，因为只需属于 $\Img \alpha$ 即可满足条件）。

经过上面的过程，我们得到了这样和原条件等价的条件，即必须至少有一个 $a'\in\Img\alpha$，它由 $f'(a') = \beta(b)$ 确定，而 $\beta(b)$ 中的 $b$ 则从 $c$ 的原像中找到。

因此，我们先关注这个集众多条件于一身的 $a'$，由于其处在 $\alpha$ 的像内，就一定有 $a\in A$ 使得 $\alpha(a) = a'$。此时我们从 $a$ 出发，利用交换图的性质，就有 $f'(\alpha(a)) = \beta(f(a))$。注意到我们 $a'$ 上的两个条件，将它们带入这个关系，就得到 $f'(\alpha(a)) = f'(a') = \beta(b) = \beta(f(a))$。

我们关注最后一个等号，它说明了这样的问题：$\beta(b) = \beta(f(a))$，则有 $\beta(b-f(a)) = 0$，也就是 $b-f(a)$ 是属于 $\Ker \beta$ 的。回顾这个元素的构造过程，$b$ 是任意一个在 $c$ 的原像中的元素，这里的 $a$ 是根据 $a'$ 任意选取的在原像内的元素，$a'$ 又是 $\beta(b)$ 在其原像内任意选取的元素。我们看到，$b$ 和 $a$ 都是除了利用 $c\in\Ker\gamma$ 和交换图性质以外任意选取的符合条件的元素，如果对它作用 $g|$ 之后能够回到 $c$，就说明这样的一件事：$c$ 的原像内元素不管怎么选，总会以某些形式回到 $\Ker\beta$，进而映射到 $g|$ 的原像内。

幸运的是，这很好验证：$g|(b-f(a)) = g(b-f(a)) = g(b) - g(f(a)) = g(b) = c$。第一个等号来自 $g|$ 的定义，当将之放入 $B$ 中考虑是就可以使用 $g$ 替代；第二个等号来自 $g$ 是同态的保运算性质；第三个等号来自链复型的要求；而最后一个等号就是我们一开始选取 $b$ 的方式。这正是说明了我们前面讲的：$c$ 原像中的 $b$，会以 $b-f(a)$（其中 $a$ 也是由 $c$ 间接决定的）的形式出现在 $\Ker\beta$ 里，最后被 $g|$ 映射回 $c$，而这就证明了任何一个 $\Ker\gamma$ 中的元素，其都是 $\Img g|$ 中的元素，也就证明了本命题。再结合上一条命题的证明，我们成功得到了这条链条在 $\Ker\gamma$ 上的正合性。

一点绕过的弯路

第二个命题的证明其实没有特别顺利。这主要是因为对 $\delta$ 构造的理解不够导致的，或者说太过希望 $\delta$ 有一个好的显式表达而造成的。在取到 $a' = \alpha(a)$ 的时候，我希望直接得到 $b$ 是一定属于 $\Ker\beta$ 的结论，虽然感觉上会有和之前类似的从 $b$ 出发构造的属于 $\Ker\beta$ 的元素一样的桥段，但由于依赖 $\delta$ 的显示表达，我卡在了 $(f')^{-1}$ 只是左逆而非右逆这一点上。因为如果按照我之前的思路，就一定要遇到 $f'((f')^{-1}(\beta(b)))$ 这样的元素。而由于 $(f')^{-1}$ 并非右逆，这个式子是无法约化到 $\beta(b)$ 上的。

可以看到，最后解决这个问题的方法，是直接采用 $\delta$ 在构造过程中的表现，在从 $B'$ 至 $A'$ 的过程中选择使用 $\beta(b)$ 一定在 $f'$ 的像中的条件，从而绕过了这个问题。虽然说用形式化的思路，比如限定这里 $f'$ 的范围，从而让做出一些限定条件的 $f'$ 成为同构来解决这个问题，但这始终不是个很好的方案。

另外，就是 $b$ 一定属于 $\Ker\beta$ 的错觉。实际上，$b$ 可以不在 $\Ker\beta$ 中，只需要 $b$ 和某个经过 $g|$ 映射后等于 $0$ 的东西结合之后位于 $\Ker\beta$ 即可。当然我们现在知道，这个东西就是从 $c$ 一路确定下来的 $f(a)$ 了。

好了，我们开始准备证明蛇引理主体的最后一部分吧：$\Coker\alpha$ 处的正合性。

$\operatorname{Coker} \alpha$ 处正合性的证明。

我们不多废话，还是先证明 $\Img \delta \subseteq \Ker \hat{f'}$，后证明 $\Img \delta \supseteq \Ker \hat{f'}$。对应的短链是：

证明 $\operatorname{Im} \delta \subseteq \operatorname{Ker} \hat{f'}$

取 $\Img \delta$ 中的元素 $\hat{a'} \in \Coker\alpha$，通过证明 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{0} = \Img \beta \in \Coker\beta$ 即可证明本命题。由于 $\hat{f'}$ 的定义，我们有 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \widehat{f'(a')} = f'(a') + \Img \beta = 0 + \Img \beta$，也就是说只需要证明 $f'(a') \in \Img \beta$，我们就能证明本命题。由于 $\hat{a'}\in\Img\delta$，一定有一个 $\Ker\gamma$ 中的元素 $c$ 满足 $\delta(c) = \hat{a'}$。

我们这时使用 $\delta$ 的定义：若 $\delta(c) = \hat{a'}$，就说明一定有一个 $b\in B$，这个 $b$ 在 $c$ 的原像中，而且 $\beta(b) = f'(a')$。啊，这不就是我们要的结论吗？既然 $f'(a') = \beta(b)$ 了，那自然 $f'(a')$ 就在 $\beta$ 的像里面了呀。就这样，我们证明了这个命题。

证明 $\operatorname{Im} \delta \supseteq \operatorname{Ker} \hat{f'}$

还是一样，取 $\Ker \hat{f'}$ 中的元素 $\hat{a'} \in \Coker\alpha$。既然在 $\Ker\hat{f'}$ 里，我们就有 $\hat{f'}(\hat{a'}) = \hat{0} = \Img \beta \in \Coker\beta$（我们是不是刚刚见过这句，那就快进吧），进而 $f'(a') \in \Img \beta \subseteq B'$。那么，既然是在 $\Img \beta$ 中的，我们就取所有满足 $\beta(b) = f'(a')$ 的 $b\in B$。此时我们用交换图右侧的交换性，给这个式子左右两边左作用上 $g'$，就得到

其中第一个等号来自交换图下面的链复型的性质，第二个等号就是作用 $g'$ 的结果，第三个等号则是交换图的性质。观察这个式子的左右两端，不难根据核的定义得到结论：只要是满足条件的 $b$，$g(b)$ 就全都在 $\Ker \gamma$ 中。

到这里其实已经证明完了，因为我们仅从 $\hat{a'}\in\Ker\hat{f'}$ 出发，仅利用交换图就得到了所有满足条件的 $b$，证明了它们全都会在 $g$ 的作用下进入到 $\Ker\gamma$ 里，也就是说，$\hat{a'}$ 确定了且一定对应到了 $\Ker\gamma$ 中的某些元素。这就说明了 $\Img \delta \supseteq \Ker \hat{f'}$。

我们写详细点，多写几步，那么让 $g(b) = c$，根据 $\delta$ 的定义（或者作用过程），对 $c$ 作用上 $\delta$ 后，将会先有若干个满足 $g(b) = c$ 的 $b$，紧接着这些 $b$ 将被 $\beta$ 映射到 $B'$ 里，最后从 $A'$ 里找到对应的原像，用它们生成一个等价类。而由于我们上面的过程，最后找到的 $A'$ 中的元素所生成的等价类，就是我们一开始的 $\hat{a'}$。这就说明 $\delta(c) = \hat{a'}$。 由于 $\hat{a'}$ 是我们随意取的在 $\Ker\hat{f'}$ 中的元素，都能得到 $\delta(c) = \hat{a'}$，因此 $\hat{a'}$ 确实就存在于 $\Img \delta$ 里。

至此，我们证明了该命题，并结合上一个证明的命题，一起证明了链条在 $\Coker \alpha$ 处是正合的。

虚线箭头的相关证明

其实上面已经证明完了蛇引理的主体部分。下来我们将证明最后的两个命题：若交换图中的上下两个链条都是短正合列（也就是有 $0\to A$ 和 $C' \to 0$ 成立），那么在从该交换图中得到的正合列的头尾就可以补上 $0\to\Ker\alpha$ 以及 $\Coker\gamma\to 0$，使得 $\Ker\alpha$ 以及 $\Coker\gamma$ 处正合。

我们还是先证第一个，也就是从 $0\to A$ 的存在可以得到 $0\to\Ker\alpha$ 且 $\Ker\alpha$ 处正合。

证明 $\operatorname{Ker}\alpha$ 处的正合性

若有 $0\to A$，则根据正合列的性质（或者直接看交换图下面的那个链条），我们就有 $f$ 也是个单态。因此，对 $f$ 做出在 $\Ker\alpha$ 上的限制得到的 $f|$ 并不会改变它是单态的事实（只缩小了定义域）。此时，由于 $f|$ 是单态，它的核根据单态的性质，就一定是一个平凡群。

此时我们补上 $0\to\Ker\alpha$，由于它一定是单态，它的像只能是平凡群。这自然地就证明了链条在 $\Ker\alpha$ 处是正合的。

证明 $\operatorname{Coker}\gamma$ 处的正合性

如果有 $C'\to 0$，则根据正合列的性质，我们知道 $g'$ 就必须是满态，这也就意味着 $\Img g' = C'$。

我们来看我们定义出的 $\hat{g'}\vcentcolon\space\Coker\beta\to\Coker\gamma$，任取它的定义域上的一个元素 $\hat{b'} = b'+\Img\beta$，经过 $\hat{g'}$ 映射后得到的 $\Coker\gamma$ 中对应的元素则是 $g'(b') + \Img\gamma$。然而由于 $\Img g' = C'$，这说明 $g'(b')$ 会随着所有对 $\hat{b'}$ 的选取而跑遍任何一个这里的 $C'$ 中的元素，进而使 $\hat{g'}$ 也是一个满态。自此，我们就可以给 $\Coker\gamma$ 的右端补上 $\Coker\gamma\to 0$ 的同时保持其正合性，因为补上的映射的核正是 $\Coker\gamma$。

证完串起来

至此，我们完全证明了前面列出的所有结论，进而证明了蛇引理。简单盘点我们证明过的东西，我们做了这些事：

1. 构造了五个阿贝尔群间的同态，一一验证了它们的定义是 OK 的；
2. 对四个点上的正合性做出证明，具体是先向前得到前一个同态的像在后一个的核内，再证明后一个的核再前一个的像内，从而得到正合
3. 对得到的正合列在交换图上下链条都是短正合列的情况做出补充。

这里有几个值得一提的点。首先，我们在一开始就得到了 $f|$ 和 $g|$ 的定义，它貌似是直接给出的，但应该是由我们自己定义的，即便定义好之后也是同样的形式。由于阿贝尔群同态的核天生就是其定义域上的阿贝尔子群，除了使用原同态在核上的限制来定义以外，并没有什么更好的定义方法了。

另外，我们尝试给定义的 $\delta$ 一个具体的表达式，然而这个做法其实可能并不好（我们也应该已经看到了，$(f')^{-1}$ 可能会造成一些问题）。这个同态可以被称作 连接同态，是蛇引理中连接上下两个正合列的的很重要的一个同态。

然后，就余核来看，如果对它的一些性质更加熟悉，可能证明过程会更加简单。不过我们也在证明过程中看到了关于它的一些性质，这里就不再赘述，只提一点，就是余核内的单位元（零元）代表的不是简单的 $0$，而是一个等价类。我们还可以看到核与余核之间的一些微妙的联系。然而这里就不过多讨论这些了，这些更多是属于范畴论的内容。从范畴的角度来看，它们的区别就是用来定义的交换图内的箭头方向不一样而已。

还有就是，我们对正合性做出验证时，并没有按照从左向右的顺序，而是先验证了处于交换图中间位置对应的点的正合性，再验证了两边的。这也许是受到了我所看的视频的影响吧。我想在这里做出另一个推荐的证明顺序，即从链条的左边开始，先证明这个链条是一个链复型，再证明它的正合性。从上面的证明过程来看，其实证明它是链复型的过程非常简单，难点则是那个反包含的证明。当然，我暂时也不计划再证明一次，这次写的很多了，就这样吧。

此外，基础版本的蛇引理不包含最后的两个同态，就是 $0\to A$ 和 $C'\to 0$。另一个角度来讲，为了从交换图中得到一条正合列，我们只需要这些最低限度的条件。不过，蛇引理还可以继续拓展下去，不过就不叫蛇引理了。

最后，我们要指出，我们这里做证明的方法，就是所谓的追图（Diagram Chasing）。这种方法从交换图的某个点内的元素为起点，沿着交换图中的态射移动，最终 “追” 到我们需要的元素为止，从而证明某个结论。追图是同调代数中重要的证明方法，其中最基础的一个证明例子便是这里的蛇引理。不过，这里的证明确实较为冗长，如果借助更高级更复杂的数学工具/技巧，比如范畴论，那么证明应该会更加简短一些，形式也更精简一些，不过可能很难看懂，我也不会这些（）

证毕后的一点感想

一开始动工的时候，我是没想到竟然能写这么多的。也许是因为我太罗嗦了吧，前面讲了很多的前置，也不知道讲清楚没有，而后面证明过程的很多话又都是套话；又或者我觉得写详细一些，易懂一些，可能会比较好，所以就把证明过程中我的一些想法以及口头的一些表达揉进去了。个人而言我还是挺喜欢思考这些东西并把思考过程写下来的。我也有想过把这篇拆成几个部分，不过目前先写在一起吧。即便看完这么多也需要好久好久。

可以看到里面有一些可以点开的隐藏了的内容，有许多还没有写好，标记着 “Under Construction~”。这些内容应该会在某天我心血来潮之后再次补好吧（补档：我写好了！）。不过也有可能会删掉，或者直接拆分出来？我也不好现在就下判断。另外我还计划在这篇文章的后面，也就是在证明结束后，再补一个不那么啰嗦的证明过程。这样的话，已经有代数基础的朋友也许就可以直接跳到精简版的来看？emmm不过既然已经有代数基础了，想必来看这篇也就是图一乐了。还是希望能嘴下留情~ 作为一个普通的数学爱好者，能证完这个我感觉还挺有成就感的啦。

不过必须承认的是，写的过程中我还是回头修改了不少表述不太合适的部分，以及这篇证明是离不开网络上的众多优秀资料的帮助的。感谢互联网，互联网万岁！~

最后，祝您身心健康，生活愉快~