数学的一大特征大概就是多种多样的符号了吧。提到数学，大家总是能想起各种各样的公式，即便在我心目中，物理也许更能用各式各样的公式凸显自己的高深莫测，然而作为一种逻辑严密的学科，依旧少不了用各种符号来代指各种数学对象。本文就 微积分 这一个子方向，浅谈这些风格迥异的记号，也方便接触不同领域的文献。

最近很喜欢橘星（Orangestar）的这首 《Postscript》，夏背画的 MV 也很好看。所以就都放上来吧~ 可惜这首歌是要 VIP 的，想畅听的话可以试试B站链接

积分符号：也许是混沌善？

虽然微积分这门学科，从逻辑上讲是由导数和微分作为引入更合理，这一点从 微积分 的名称中也许也能略窥一二。然而，由于我们主要是来聊聊微积分中的符号，而积分的符号相对而言会更简单一些，因此我们先从它开始谈起。

单个积分符号 $\int$

由莱布尼茨引入的 $\int$，它几乎是最常见的积分符号了，其源自拉长的字母 $S$。当它孤零零地出现时，常常代表着求的是表达式的不定积分，即求表达式的原函数。当需要给定一个区域时，习惯上给一元函数的定积分写上上下限来表达积分的区域。而这个符号也不一定只用于一元函数：它可以表示 曲线积分，而且在表达一般情况下的积分时，也可以使用该符号。此时积分区域是一个一般意义的集合，放在积分符号的下标来表示积分区域。

来几个例子吧。比如我们人见人爱的普通不定积分：

它就是说在尝试求 $f(x)$ 的原函数是什么，即尝试找到一个 函数族 $F(x)$ 使得其导函数为 $f(x)$。而下面则是一个定积分的例子：

它是在求 $\sin (x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 的积分。我们也可以说是在区间 $[0,\pi]$ 上的积分，这取决于你对积分的看法，由于 $\sin(x)$ 的连续性，这两个积分结果是等价的。我们抓住 一维 这个特点，从而可以考虑对 一维流形（天哪真的可以这么说吗），也就是一般的曲线，进行积分：

这里的 $l$ 自然表示的就是积分区域，一条曲线，而 $\d s$ 就是积分的所谓 线元素了。具体的计算方式我们这里就不再提出。由于曲线是一维的（应该是叫内禀维度吧？），我们可以把在这条曲线上的积分直接看作是单纯的参数函数的积分，因此使用这样的积分符号完全是合理的。我们这里埋一个小坑，即为什么用了 $f$ 而非 $f(x)$ 或者 $f(s)$ 之类的东西作为被积函数。我们以后再谈这个问题。

而当你有一个说不清是几维的函数，或者是一个一般意义下的多元函数（定）积分时，你也会使用这个积分符号，用法如：

这就是在说，给一个 $n$ 元函数 $f({\bf x})$ 进行积分，积分区域为 $\Omega$。这里有几个要点：首先，出现在后面表明被积分变量的 $\d^n {\bf x} $ 应该是

的缩写。我们暂且按下 “$\wedge$” 这个符号不表，上面这串的含义是积分区域 $\Omega$ 的一个微分元素。从稍微物理一点的角度去讲，它代表着一个微小体积。另外，$\Omega$ 一般我们认为它是一个开集合：

不过，在不那么严格的语境下，我们可能会考虑使用 $\d v$ 来代表一个 体积元，用 $V$ 指代积分区域。这样一来，我们可以将这个积分像考虑 “求面积” 那样类比到 “求体积” 或者 “求质量” 上，方便理解。作为多元函数，其中的 ${\bf x}$ 一般被理解为是位置向量，这样的方式更现代化一些，不过即便理解为是依赖 $n$ 个元素而非依赖一个 $n$ 维向量，也是可以的。结论上不会有什么差别。

关于这个符号，我们先暂时到这里，因为积分符号还有另外挺常见的几个：

重积分符号与环积分符号

我们常常还能见到多重积分的符号，比如 $\iint$，$\iiint$ 等。有时还能见到这种中间带一个小圈的积分符号，即代表对封闭区域积分的 $\oint$，$\oiint$ 等。我们先看看重积分。

代表重积分的符号相对而言是含义比较清晰的，因为看上去有几个 $\int$ 就代表了是几重积分。由于对高维空间不再有 区间 这个概念了，所以一般而言，重积分的积分区域都是直接写在积分符号下方，用一个符号表示出来。比如

其中的 $A$ 就代表了一个二维积分区域。有些地方还会把积分区域直接通过不等式表达出来写在积分符号的下方，比如

就是说这个函数的积分区域是一个小小的直角三角形。不过我个人是不太喜欢这种表达的，看上去很凌乱。

需要说明的是，重积分 $\neq\;$ 积分多次，至少不能直接画上等号。然而吧，在一般的应用过程，没人会在意二者等价性的证明的…… 甚至于，即便你省略楔积符号（即那个 $\wedge$），甚至看作乘法，都没人会管的。我们后面再吐槽吧。

封闭区域的积分其实没什么特别的，就是在提醒读者，这个积分区域是封闭区域。这里所说的 封闭 应该理解为 “图形是闭合的”，区别于数学上的 闭区间 的概念。按照比较 nerd 的说法，这个封闭应该是说该图形是某个图形的边界。Anyway，直观来看就是说是一个圈，或者一个气球，那样的东西（大概）。比如 $\oint$ 就是说积分的区域应该是闭合曲线，而 $\oiint$ 就是一个闭合的曲面，就像气球那样。对应的，积分元素也是线元或者面元了，这里就不再赘述。

是积分，但不是拉长的 $S$

除了上面常见的，使用拉长的 $S$ 来指代积分以外，还有另一条不怎么常见的分支，即用算符去指代积分，即用 $D^{-1}$ 这样一个符号来突出积分是求导的逆运算¹（自然， $D$ 就被用作求导的算符了）。这样的记号也许在偏向代数的学科中会见到吧，或者是在微分方程中。毕竟这个符号非常简洁，且比起 $\int$，更能让人接受它是一个算符。事实也确实如此：积分这个东西，就是可以理解为输入一个函数后输出一个实数/函数族 （取决于定积分还是不定积分）。关于这个符号，我们就先只聊到这里。

没有 $\d x$，对吗？

我想近乎所有初学微积分的人，都会有这样的一个疑问：$\int$ 还不够说明这个东西是个积分吗？为什么非得要后面 $\d x$ 这样一个尾巴！？然后随着后续的学习，比如换元法，多元积分，以及见识过不是被积变量出现在函数中的情况后，从心理上就接受了这样的写法。毕竟，指明这个积分是对谁做的积分，不也挺好？然后把只有 $\int$ 而没有后面的 $\d x$ 的写法认为是一种简写。这近乎是大多数人对积分符号的看法了吧。

但是，我们能合法合规地不要后面的 $\d x$ 吗？毕竟，它是微分呀！为什么非要把微分和积分符号放在一起？这个问题也许在勒贝格积分下或者在微分流形理论下能得到合理的答案，但是倘若我们只是讨论黎曼积分呢？

好消息是，于品老师的数学分析讲义里就没有使用传统的 $\int f(x) \d x$ 的记号，而是采用 $\int f$ 作为积分的记号。这里是这么做的：考虑 $\int_I$ 是一个定义在 黎曼可积函数集合 $\mathcal{R}(I)$ 上的，到实数域上的映射。那么对于任意一个黎曼可积函数 $f \in \mathcal{R}(I)$，我们都可以合法地写出 $\int_I f$，并称其为 $f$ 的积分。

可惜，我们不计划在这里深究这些技术上的细节，只是介绍一下这些数学符号。不过，感兴趣的话，于品老师的这份讲义写的很不错，很值得一看。关于这部分，可以参考 18. Riemann 积分的定义。除了于品老师的教材这样处理之外，Terence Tao （陶哲轩）所著的 Analysis 也采用了这种不在积分中使用 $\d x$ 的做法。感兴趣的话也可以看一看。

导数：混沌恶！

谈完形式比较符号比较简单的积分，我们再来看看众说纷纭，略显混乱的求导符号们。混乱的原因主要是因为，很多数学家都发明了自己的求导符号。因此，干脆我们这里就以不同的数学家为轴，介绍一下这些符号。

莱布尼茨：无心的发明，神秘的隐含

我们先看由莱布尼茨引入的记号，

对高阶求导则是

这个记号也许是高数中最令人熟悉的记号了，它明确地指出了上面的函数对下面的自变量求导，以及求导的次数。它还很好地捕捉了求导与微分的关系，这一点大概是莱布尼茨一开始没有料想到的吧。不过，我们也不太能直接把求导解释为 “一个东西，除以另一个东西”，即便很多定理/定律都在这样的解释下还能正常工作，但还是不应该这么做。

然而，我们当然可以用这个方法来助记，不是吗？比如复合函数 $g(f(x))$ 的导数，用链式法则就能得到：

或者我们采用更加“阅读友好”的形式，令 $f(x) = y$，则有：

不得不说，真的很像单纯地把除法算式拆成两个除法相乘。

然而这个记号也许会引起这样一些误会：为什么不是 $\d f(x) ^n$ “除以” $\d x^n$？它和微分之间究竟有什么联系？为什么是 $\d x^n$ 而非 $\d^n x$？在我学习微积分时，这也是一个困扰了我很久的问题。

为了解释这个问题，我们首先先回答为什么前面讲到：为什么不能把求导解释为 “一个东西除以另一个东西”。你可能见过这样的求导记号：

这同样表示对 $f(x)$ 的求导，而且也许是最符合 “严格” 的要求的记法。因为这个符号中，我们能更明显地看出 $\ddfrac{}{x}$ 是一个整体！而且我们还能更好地描述这个符号在做什么：我们对一个函数 $f(x)$ 进行了求导的操作（左边作用上 $\ddfrac{}{x}$）。从这个角度，为什么高阶导数是 $\ddfrac{^nf(x)}{x^n}$ 也能很好地解释了，因为我们可以写成：

也就是我们对一个函数 $f(x)$ 多次作用上 $\ddfrac{}{x}$。

实际上，这已经是从 算符 的角度来解释这个过程了。也正是因为 $\ddfrac{}{x}$ 是一个完整的算符，我们不能把它单独拆开，表示成两个微分相除。这不是唯一的一个算符表示方法，然而其细节丰富，在需要展示所有的运算细节的时候，我会很喜欢使用这个符号。但是我们也不是什么时候都需要展示所有的细节，这时候莱布尼茨的符号就显得很啰嗦了。这就引出了另一个很受欢迎的求导记号：拉格朗日记号。

拉格朗日：简洁的美

由拉格朗日引入的记号 $f'(x)$，$f''(x)$ 以及 $f^{(n)}(x)$ 同样是被广泛应用。这种记号在受欢迎程度上几乎与莱布尼茨的记号平分秋色，但拉格朗日记号胜在其形式简洁明了。然而，由于拉格朗日的记号太深入人心，导致假如希望给一个和 $f$ 相关，但实际上不同的函数一个记号，就不可能考虑 $f'(x)$ 这样已经广泛接受为导数的符号了，只能考虑再上面加小帽子：$\hat{f}(x)$，或者加横杠：$\bar{f}(x)$，等等。

拉格朗日的记号最常见到的地方大概就是各类微分方程了。由于微分方程中，求导的变量通常都是很明确给出的，因此与其采用莱布尼茨那样的符号，拉格朗日的符号更容易书写也不会引起歧义。此外，在上下文明确的前提下，这个符号写起来也确实是很方便。如果要我给别人解释一个包含导数，但又不太需要太多导数的细节的东西，我会比较乐意写这个记号。然而，如果是写文的话，可能这个记号还是会往后排一排吧。

说到简洁，拉格朗日的记号确实不错，但不是唯一的一个，然而它就不那么幸运了。

牛顿：物理的传承

作为与莱布尼茨共同开创微积分的数学家，牛顿的记号就显得有点小众了。他使用点来代表求导，如 $\dot{f}(x)$ 代表一阶导，$\ddot{f}(x)$ 代表二阶导。但是这种记号没有一个很好的表示 $n$ 阶导的方法，高阶导也显得异常臃肿：单纯地堆砌点号。一些老的文献中通常能看到函数上堆满了点，想确定是几阶导数还需要一个个数一下。相比之下，拉格朗日的做法就聪明的多了，直接用一个数字代表，非常简单明了。

不过，由于牛顿在近现代物理领域中近乎奠基人的地位，这个记号在物理学或与之相关的领域中也依旧被广泛应用。现在人们延续了牛顿引入这个记号时所设想的含义：对时间求导（也就是牛顿创立微积分时所说的 流数）。一个点就是对时间求一阶导，两个点就是二阶导。由于物理领域不太常遇到对时间求高阶导，这样的记号也显得还不错。

举个例子来讲，物理中常用到的变分法需要欧拉-拉格朗日方程中，就有略显奇葩的做法，即对变量的导数再求导。具体还可以参考之前写的关于欧拉-拉格朗日方程的简介的内容，或者这篇关于变分法的内容。比如说有这样一个力学体系，它的状态可以由体系内粒子的位置以及其速度来决定。此时我们可以写出其拉格朗日量：

而使用了牛顿的记号的话，就可以写作如下的形式：

这样能很好地体现位置和速度的关系。最重要的是，相比于用 $\ddfrac{q}{t}$ 或者 $q'$ 这样的写法，这样的写法能很好地表达它就是对时间求导的关系。另外，也能让欧拉-拉格朗日方程的表达式变得很简洁，即可以写成下面的形式：

只能说牛爵爷心是好的，后面数学家/物理学家们也给执行好了。

欧拉：算符化求导

另一位大数学家欧拉也引入了一个记号，使用 $D$ 代表对函数的求导。这也就是上面所说的，积分算符，$D^{-1}$，的逆算符了。它具有算符的特质，如求一阶导就是 $D f$，二阶导就是 $D^2 f$，而高阶导自然就记为 $D^n f$。也正是由于这样算符化的特点，这个记号现在在泛函分析领域中被广泛应用。

另外，借助这样的记号，我们甚至可以对求导算符进行一些代数的操作。比如也许我们熟知的二阶常微分方程，就可以用算符的形式进行有理有据的 “助记”。例如：

这样的二阶齐次线性微分方程，就可以拆成算符的形式：

这提取出来的算符形式，和所谓的特征方程是否有几分神似？没错，求解这个微分方程实际上就是在求这个括号内的算符的本征函数（类比本征值）。

围绕这个算符，我们甚至可以衍生出很多别的很有意思的讨论，比如量子力学中所谓的 “对易”，或者是讨论 “位置与动量的关系” 等等。B站上有人搬运了关于 微分的导数 的视频，挺有意思的，里面涉及到一些把导数看作算符的观点，感兴趣可以看一下。另外，查阅 维基百科，可以看到还有一种表达算符的写法：$\partial_x$。这种写法偶尔会在偏微分方程中见到，不过总归是不太常见，也可能是我很少遇到微分方程的缘故吧？

雅可比：多元函数与矩阵

然而，看过上面的几个记号，竟然没有一个考虑过多元函数的情况。针对这个问题，首先引入符号的是雅克比，他引入四种记号来表示不同的导数：

• 对于偏导数，使用 $\pfrac{f(x,y,\dots)}{x}$，$\pfrac{^nf(x,y,\dots)}{x^{m}\p y^{n-m}}$ 这样与莱布尼茨记号类似的记号；
• 为简记上面的记号，引入了 $f_x = \pfrac{f(x,y,\dots)}{x}$，$f_{xy} = \pfrac{^2f(x,y,\dots)}{x\p y}$ 这样的记号；
• 为了表达向量值函数的导数，引入了雅克比矩阵与雅克比行列式，来指代一阶导数。多元函数的雅克比矩阵的记号为 $\mathbf{J}_\mathbf{f(x)} = \dfrac{\p(f_1,\dots,f_m)}{\p(x_1,\dots,x_n)}$；
• 为了表达多元函数的二阶全导数，引入了黑塞矩阵，记号为 $\mathbf{H}_f$，其矩阵元素为 $(\mathbf{H}_f)_{i,j} = \pfrac{^2f(x)}{x_i\p y_j}$。

这些符号极大地丰富了对多元函数的表达，可以说没有这些记号，多元函数的研究光写文字都得好久。而且最重要的是，矩阵 的形式很好的说明了求导这个操作的线性性。当我第一次知道，二元函数的全导数是一个矩阵，且表达的是一点的切面的时候，是有点被震撼到的。具体内容可以参考大名鼎鼎的 Baby Rudin，也就是 Walter Rudin 所著的 Principles of Mathematical Analysis。我就是从这本书知道这点的。

另外，就像上面所说的，莱布尼茨的记号有对应的算符版本，雅克比的这些记号也是有自己的算符版本的，就是写作 $\pfrac{}{x}$ 的形式。这样的形式的优点类似与莱布尼茨记号的方式，我们这里不再多提。不过值得一提的是，由于微分流形/微分几何中对高维几何体与微积分之间联系的研究，这一保留了算符性质的表达偏导数的符号被这两个学科大量地应用，甚至已经不仅仅用以表达单纯的偏导数了。比如从偏导/方向导数中抽象而来的 切向量，就直接使用了这样的偏导数记号来表示了。

也许是国内教材干的？但是很无奈……

多元函数在微积分中的研究，不仅仅是多了几个依赖的变量这么简单。考虑多元的复合函数的情况，我们在对多元函数进行求（偏）导时必须考虑所有的变量，这就给多元函数的求导引入了极大的复杂性，也正因如此，不注意求导过程中的记号将会引起很大的歧义。

比如有这样一个函数：$f(u(x,y),x,y)$，这里 $x$ 与 $y$ 独立，而 $u$ 依赖这两个变量。现在想求 $f$ 对 $x$ 的偏导数，应该怎么做呢？由多元函数的求导法则和链式法则，我们应该写：

等一下，这对吗？如果来个初学者尝试写这个问题，会不会出现把两边的 $\pfrac{f}{x}$ 直接给消掉，最后得到一个 $\pfrac{f}{u}\pfrac{u}{x} = 0$ 的方程？这明显是有问题的，而这样的歧义主要出现在，我们尝试对多元函数求导时，首先是 对位置 求导的，而非对 变量 求的导。所以，上述等式第二个部分应该是想表达，这个函数需要对第二个位置求偏导才对。

为了解决这样的歧义，也许是国内教材特供吧，我们会用 $f'$ 带上下标数字来表示 “对几号位置求导”。比如写 $f'_1(u(x,y),x,y)$ 来代指对 “一号位置” 求导。有时候，可能还会把上面这一撇省略掉。这样一来，上面的算式就能写成：

这样也算是能解决问题吧。不过其实更好的方法是区分开函数和变量，比如一开始给函数记为：

并把偏导写为：

这样也能有效避免歧义，但是对这个过程的解释就会变得比较复杂。我们要先明确一点，我们在进行求导时，有两层求导：

• 对 函数本身 求导，求的就是这个函数对某个变量的导数。如这里的 $\pfrac{w}{x}$ 或者 $\pfrac{u}{x}$；
• 对 函数法则 求导，实际上是在套求导的公式，是纯粹形式上的求导。比如这里的 $\pfrac{f}{u}$ 和 $\pfrac{f}{x}$。

当我们应用求导法则时，我们的目的是对函数本身进行求导，而计算过程则是机械地运用纯符号的填空题法则，来把内容填进去。然后在具体计算时，尽可能不展开表达式，比如计算 $\pfrac{f}{u}$ 的时候就将 $x$ 和 $y$ 作为非变量进行计算，而在计算 $\pfrac{f}{x}$ 的时候就把 $u$ 和 $y$ 作为非变量进行计算。

但是总的来说，还是非常混乱了……

小结一下吧

可以看到，导数的符号，真的很混乱。每个领域几乎都有自己的写法。稍不留神可能就会引起歧义（说的就是你，多元求导）。也许在讨论多元函数微积分前，最好先规定好一套无歧义的符号标准？那做题怎么办呢？很难受了…… 混沌恶，当之无愧！

微分记号：中立善

看了上面这些令人头晕的符号，我们还是来看点轻松的内容吧。微分记号几乎是大家一致认同的符号之一了，都选择用一个简单的 $\d\ $来表达微分……

正体 VS 斜体

等一下，真的如此吗？这不是正体的 $\d\ $ 吗？为什么很多地方（包括维基百科）都是直接用的 $d$ 呢？

这又是一个令人抓狂的故事了。实际上，很多地方的数学符号，都是应该写作正体的。比如三角函数，应该使用 $\sin$，$\cos$，$\tan$ 这种。而 $sin$，$cos$，$tan$ 这样的写法则是不规范的；微分算符也不例外，$\d\,$ 应该是更加规范的写法。然而 AMS 出手了：在 AMS 的规范中，出现微分的地方是应该写成 斜体 的！所以你可以看到很多地方的写法，都是遵从 AMS 规范写的斜体 $d$ 而非正体的 $\d$。

不过还是有作者不同意这种写法的。比如著名的 Zorich 的 Mathematical Analysis 中就采用了正体的写法。所以这个符号也许主要还是看作者的想法吧。当然，你也可以看出，我是支持正体写法的。毕竟，斜体的 $d$，更像一个变量，不是吗？

微分能直接乘吗？

另外可能略有歧义的地方，在于 “微分到底能不能相乘” 这个点。这个问题也许主要来自于积分那边：我们经常可以看到把一个重积分写成对一个函数积分多次的形式。比如也许你经常见到：

这样的写法。它没什么问题，但是重点在于，写下面的样子就不是很严谨了：

这是因为，一个多元函数是不能匹配上一个一维的微分元素的。这样的写法略有牛头不对马嘴的味道。那么正确的写法是什么呢？应该采用我们上面对积分符号的介绍时用到的 楔积 记号，即：

这个楔积是何许人也？我们不过多介绍，但是可以说的是，楔积是微分之间的一种运算，能把低阶的微分组合起来，使它成为高阶的微分。像这里所做的，把三个微分用楔积联系起来，得到的就是一个三阶的微分。这样，就可以和一个三元函数相匹配，并进行三重积分了。如果对这个问题感兴趣，可以参考数学分析教材或者微分流形的教材。上面会对 “微分到底是什么” 有从代数层面的详细的解释。

然而你要是问我，平时在不那么严谨的语境下，怎么表达一个多重积分？那我可能也是会偷懒省掉这个楔积符号的。毕竟，上下文说明了一切嘛，要相信读者的阅读能力，不是吗？（逃）

后记

首先想说的，是感谢群友 Harviiiii 为本文提供的意见和建议。谢谢你~！

这篇短文是我在学习有限元方法时遇到的方程带来的问题。具体的内容我已经记不太清了，但是大概就是对某个符号产生了疑惑，然后就像这样，打破砂锅问到底了。其实说实在的，很少会有人对符号，特别是工程上常用的微积分的符号有这么大的疑惑，或者对其严谨性有这么高的要求的。毕竟当它是 “微积分” 而非 “分析学” 的时候，数学就更像是一种工具，好用才是第一要务。

然而探索这些符号的过程也是挺有意思的吧，而且说不定也许有审稿人会因为我的符号使用比较规范而高看我一眼呢？哈哈哈。

另外要补充的是，实际上这篇文章刻意隐藏了一个很大的坑，不知读到这里的您是否注意到了。那就是：到底那个符号是函数？比如 $y = f(x)$，这个或许初二还是初一就学到了的表达式里，究竟哪个部分是所谓的函数？$y$？$f$？$f(x)$？我们到底应该怎么写一个函数的微分/积分？而且，说到底，函数 这个概念，貌似也有很多不同的观点吧？是一般的映射？是特殊的映射？是 函数？

OMG，这个话题说实在的，又能给我水一篇博客了。所以，我们有缘再见吧，说不定关于 函数 这个数学中司空见惯的对象的杂谈很快就会写出来呢？

那么最后，一如既往地，祝您身体健康，身心愉悦，度过美好的一天~